Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

52 2. Дифференциальное исчисление
Пусть уравнение F (x, y) = 0 задаёт неявно y как функцию от
x. F (x, y(x)) — сложная функция переменной x, а F (x, y(x)) ≡ 0 —
тождество. Дифференцируя обе части этого тождества по x, приме-
няя формулу (2.10), получаем:
dF
dx
=
∂F
∂x
·
dx
dx
+
∂F
∂y
·
dy
dx
= 0. Отсюда,
полагая, что F
′
y
6= 0, находим
dy
dx
= y
′
x
= −
∂F
∂x
∂F
∂y
= −
F
′
x
F
′
y
. (2.17)
Используя соотношение (2.17), легко найти y
′′
xx
(предполагая её
существование):
y
′′
xx
= −
F
′
x
F
′
y
′
x
= −
(F
′′
xx
+ F
′′
xy
y
′
x
)F
′
y
− (F
′′
y x
+ F
′′
y y
y
′
x
)F
′
x
(F
′
y
)
2
.
Полагая y
′
x
= −
F
′
x
F
′
y
и считая, что F
′′
xy
= F
′′
y x
, после упрощения по-
лучим
y
′′
xx
=
2F
′′
xy
F
′
x
F
′
y
− F
′′
xx
(F
′
y
)
2
− F
′′
y y
(F
′
x
)
2
(F
′
y
)
3
.
Аналогично можно получить выражения для третьей производ-
ной, четвёртой и т.д.
Пусть уравнение Φ(x, y, z) = 0 определяет неявно функцию
z = z(x, y) в некоторой области. Тогда имеем сложную функцию
Φ[x, y, z(x, y)] двух пер еменных x и y и тождество Φ[x, y, z(x, y)] ≡ 0.
Дифференцируя это тождество по x, применяя формулы (2.11), по-
лучаем Φ
′
x
(x, y, z) + Φ
′
z
z
′
x
= 0. Предположим, что Φ
′
z
6= 0. Тогда
∂z
∂x
= −
∂Φ
∂x
∂Φ
∂z
. (2.18)
Аналогично
∂z
∂y
= −
∂Φ
∂y
∂Φ
∂z
. (2.19)
Для отыскания частных производных z
′′
xx
, z
′′
y y
, z
′′
xy
нужно продиф-
ференцировать дроби (2.18) и (2.19), используя формулы (2.11) и
выражения z
′
x
и z
′
y
в (2.18) и (2.19). Подробные выкладки предлага-
ем выполнить читателю в виде упражнения.

Страницы