Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

54 2. Дифференциальное исчисление
Пример 1. Найти кривизну гиперболы y =
4
x
в точке x = 2.
Решение. f
′
= −
4
x
2
; f
′
(2) = −1; f
′′
=
8
x
3
; f
′′
(2) = 1;
k =
1
(1 + 1)
3/2
=
1
2
√
2
=
√
2
4
.
Пример 2. Найти кривизну линии, заданной параметрически
x = 3t
2
,
y = 3t − t
3
,
в точке t
0
= 1.
Решение. Находим x
′
t
= 6t, y
′
t
= 3 − 3t
2
, x
′
t
(1) = 6, y
′
t
(1) = 0,
x
′′
t
= 6, y
′′
t
= −6t, x
′
t
(1) = 6, y
′′
t
(1) = −6. По формуле (2.20) получаем
k =
−6 · 6
(6
2
)
3/2
= −
1
6
.
Заметим, что кривизна прямой линии y = kx + b равна нулю,
а кривизна окружности радиусом R в каждой точке постоянна и
равна
1
R
.
Пусть s = f(t) — величина пути, пройденного точкой к моменту
времени t. Тогда отношение
f(t + ∆t) − f(t)
∆t
есть средняя скорость
движения точки на участке ∆t, lim
∆t→0
f(t + ∆t) − f(t)
∆t
= f
′
(t) опре-
деляет мгновенную скорость движения точки в момент времени t.
Величина f
′′
(t) есть ускорение движения точки.
2.9. Уравнение касательной
к кривой. Уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности
В разделе 2.8 мы показали, что f
′
(x
0
) = k есть тангенс угла
наклона касательной к графику функции в точке x
0
. Поэтому для
функции, заданной в явной форме, уравнение касательной имеет вид
y −y
0
= f
′
(x
0
)(x − x
0
). (2.21)
В случае неявного задания функции y(x) уравнением F (x, y) = 0
уравнение (2.21) принимает вид y − y
0
= −
F
′
x
(x
0
, y
0
)
F
′
y
(x
0
, y
0
)
(x − x
0
), или
F
′
x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) + F
′
y
(x
0
, y
0
)(y −y
0
) = 0.
Для параметрически заданной функции
x = x(t),
y = y(t),
, t ∈ (t
1
, t
2
) при

Страницы