Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

56 2. Дифференциальное исчисление
проходящей через точку M
0
, т.е. он является вектором нормали к
искомой касательной плоскости Π.
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности
F (x, y, z) = 0 в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) можно записать в виде
F
′
x
(x
0
, y
0
, z
0
)(x − x
0
) + F
′
y
(x
0
, y
0
, z
0
)(y − y
0
)+
+F
′
z(x
0
, y
0
, z
0
)(z − z
0
) = 0.
Если поверхность S задана явно уравнением z = f(x, y), то уравне-
ние касательной плоскости имеет вид
z − z
0
= f
′
x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) + f
′
y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
).
Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности в
точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
), называется нормалью к поверхности в точке M
0
.
Уравнение нормали к поверхности F (x, y, z) в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
можно записать в виде
x − x
0
F
′
x
(x
0
, y
0
, z
0
)
=
y − y
0
F
′
y
(x
0
, y
0
, z
0
)
=
z − z
0
F
′
z
(x
0
, y
0
, z
0
)
.
Пример 1. Записать уравнение касательной и нормали к кривой
y = 2x
2
+ 4 в точке M(2, 12).
Решение. Находим y
′
= 4x, y
′
(2) = 8. Поэтому уравнение каса-
тельной будет иметь вид y − 12 = 8(x − 2), или 8x − y − 4 = 0, а
уравнение нормали x + 8y − 98 = 0.
Пример 2. Записать уравнение касательной плоскости и норма-
ли к поверхности, заданной уравнением
x
2
2
+
y
2
4
+
z
2
16
= 1 в точке
M(1, 1, 2).
Решение. Так как
∂F
∂x
= x,
∂F
∂y
=
y
2
,
∂F
∂z
=
z
8
,
∂F
∂x
(1, 1, 2) = 1,
∂F
∂y
(1, 1, 2) =
1
2
,
∂F
∂z
(1, 1, 2) =
1
4
, то уравнение касательной плоскости
может быть записано в виде (x − 1) +
1
2
(y − 1) +
1
4
(z − 2) = 0, или
4x + 2y + z − 8 = 0, а
x − 1
4
=
y − 1
2
=
z − 2
1
— уравнение нормали.
2.10. Дифференциал функции
Рассмотрим дифференциал f
′
(x)∆x более подробно. Обычно
дифференциал в точке x обозначают df(x). Чтобы подчеркнуть за-
висимость дифференциала от ∆x, будем писать df (x, ∆x). По опре-
делению df(x, ∆x) = f
′
(x)∆x, ∆x ∈ R
n
, т. е. дифференциал является

Страницы