Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58 2. Дифференциальное исчисление
Пример 1. Если f(x) = x
2
cos
3
5x, то
df = f
′
(x)dx = (2x cos
3
5x − 15x
2
cos
2
5x sin 5x)dx.
Пример 2. Если f(x, y, z) = x
3
cos y + z
2
, то
df = 3x
2
cos ydx − x
3
sin ydy + 2zdz.
Рассмотрим сложную функцию (f ◦ Φ)x = f[Φ(x)]. По правилу
дифференцирования сложной функции (f ◦ Φ)
′
(x) = (f
′
◦ Φ)Φ
′
(x).
Умножив обе части этого равенства на dx, получим
(f ◦Φ)
′
(x)dx = (f
′
◦Φ)(x)Φ
′
(x)dx = f
′
(Φ(x))Φ
′
(x)dx = f
′
(Φ(x))dΦ(x),
т.е. (f ◦ Φ)
′
(x)dx = f
′
[Φ(x)]dΦ(x).
Свойство, заключённое в последнем соотношении, состоящее в
том, что для зависимой и независимой переменных дифференци-
ал функции записывается одинаково, называется свойством инва-
риантности первого дифференциала. Это свойство широко исполь-
зуется при замене переменных в интегральном исчислени и: если
df = f
′
(x)dx, то и df = f
′
(u)du, какая бы ни была дифференциру-
емая функция u(x), например, du
α
= αu
α−1
du, d ln u =
du
u
и т.д.
По определению дифференцируемости
∆f(x
0
) = f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) = f
′
(x
0
)dx + α(x
0
, dx),
где α(x
0
, dx) — бесконечно малая более высокого порядка малости,
чем dx. Тогда в близкой к x
0
точке x
0
+ dx имеем
f(x
0
+ dx) = f(x
0
) + f
′
(x
0
)dx + α(x
0
, dx).
Отбрасывая слагаемое α(x
0
, dx), как имеющее порядок малости от-
носительно dx выше первого, получаем f(x
0
+ dx) ≈ f(x
0
) + f
′
(x
0
)dx
с ошибкой, равной α(x
0
, dx).
Пример 3. Заменяя приращение функции дифференциалом, вы-
числить arctg 0,97.
Решение. Возьмём f (x) = arctg x, x
0
= 1, dx = −0,03. Так как
f
′
(x) = (arctg)
′
(x) =
1
1 + x
2
, то f
′
(1) = 0,5. Учитывая, что f (1) =
π
4
,
то arctg 0,97 = arctg 1 + 0,5(−0,03) =
π
4
− 0,015 ≈
3,142
4
− 0,015 ≈
≈ 0,786 − 0,015 = 0,771.
2.11. Дифференциалы высших порядков
Как мы видели, df является функцией от x. Поэтому можно го-
ворить о d(df).
Дифференциалом второго порядка (обозначается d
2
f) назы-
вается дифференциал от дифференциала первого порядка, т.е.
d
2
f = d(df).
По индукции положим d
n
f = d(d
n−1
f).

Страницы