Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

60 2. Дифференциальное исчисление
Символически соотношение (2.27) можно записать в виде
d
2
f =
∂
∂x
1
dx
1
+
∂
∂x
2
dx
2
+ ··· +
∂
∂x
n
dx
n
2
f.
В случае дифференциала d
m
f, если x
i
— независимые перемен-
ные, то d
m
f =
∂
∂x
1
dx
1
+
∂
∂x
2
dx
2
+ ··· +
∂
∂x
n
dx
n
m
f.
Пример 1. Найти d
2
f, если f(x, y) = 2x
2
y
3
+ sin xy, где x и y —
независимые переменные.
Решение.
∂f
∂x
= 4xy
3
+ y cos xy,
∂f
∂y
= 6x
2
y
2
+ x cos xy,
∂
2
f
(∂x)
2
= 4y
3
− y
2
sin xy,
∂
2
f
(∂y)
2
= 12x
2
y −x
2
sin xy,
∂
2
f
∂x∂y
= 12xy
2
+ cos xy −xy sin xy. Поэтому
d
2
f = (4y
3
− y
2
sin xy)(dx)
2
+ 2(12xy
2
+ cos xy − xy sin xy)dxdy+
+(12x
2
y − x
2
sin xy)(dy)
2
.
2.12. Формула Тейлора
Если f — скалярная функция одной или многих переменных, име-
ющая непрерывные производные до порядка (n + 1) включительно,
то её приращение в точке x
0
, вызванное приращением аргумента ∆x,
можно представить в виде
∆f(x, x
0
) = df(x
0
) +
1
2!
d
2
f(x
0
) + ··· +
1
n!
d
n
f(x
0
) + R
n+1
(x, x
0
) =
=
n
X
k=1
d
k
f(x
0
)
k!
+ R
n+1
(x, x
0
). (2.28)
Соотношение (2.28) называется форм улой Тейлора для функции f
в точке x
0
. Величина R
n+1
(x, x
0
) называется остаточным членом.
Можно доказать, что R
n+1
имеет порядок малости относительно ∆x
выше n.
Справедливость формулы (2.28) будет доказана при изучении ря-
дов Тейлора.
Если f(x) — скалярная функция одного скалярного аргумента,
то d
n
f(x
0
) = f
(n)
(x
0
)(dx)
n
, где dx = ∆x = x −x
0
, ∆f = f (x) −f(x
0
),
и формулу (2.28) можно записать в виде
f(x) = f(x
0
) +
f
′
(x
0
)
1!
(x − x
0
) +
f
′′
(x
0
)
2!
(x − x
0
)
2
+ ···+
+
f
(n)
n!
(x − x
0
)
n
+ R
n+1
(x, x
0
).

Страницы