Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

62 2. Дифференциальное исчисление
2.13. Основные теоремы дифференциального
исчисления
В этом разделе, за исключением теоремы 7, изучаются скалярные
функции одного аргумента.
Теорема 1. Пусть функция f имеет в точке x
0
конечную произ-
водную f
′
(x
0
). Если f
′
(x
0
) > 0, то существует окрестность U(x
0
)
точки x
0
такая, что f(x) > f(x
0
) для ∀x ∈ U
+
(x
0
), и f(x) < f(x
0
)
для всех x ∈ U
−
(x
0
). Если f
′
(x
0
) < 0, то в соответствующих полу-
окрестностях выполнены противоположные неравенства.
Доказательство. По определению производной
f
′
(x
0
) = lim
x→x
0
f(x) −f(x
0
)
x − x
0
,
и если f
′
(x
0
) > 0, то по теореме 4 из п. 1.5.5 существует окрестность
U(x
0
) такая, что
∀x : x ∈ U(x
0
) →
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
> 0,
откуда и следует справедливость теоремы.
Определение. Точка x
0
∈ X называется точкой наибольшего (наи-
меньшего) значения функции f(x) в области X, если для всех x ∈ X
выполнено неравенство f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
)).
Теорема 2 (Ферма). Пусть функция f(x) определена на проме-
жутке (a, b) и в точке c этого промежутка принимает наибольшее
или наименьшее значения. Тогда, если существует f
′
(c), то f
′
(c) = 0.
Действительно, если предположить, что f
′
(c) 6= 0, например,
f
′
(c) > 0, то по теореме 1 ∀x ∈ U
−
(x
0
) f (x) < f (c), и ∀x ∈ U
+
(x
0
)
f(x) > f(c) — противоречит тому, что f (c) — наибольшее значение.
Теорема 3 (Ролля). Если 1) f (x) определена и непрерывна на
отрезке [a, b]; 2) существует конечная производная f
′
(x) на (a, b);
3) f(a) = f(b), то существует такая точка c, a < c < b, что f
′
(c) = 0.
Доказательство. Так как f (x) непрерывна на [a, b], то по второй
теореме Вейерштрасса она принимает на [a, b] свои наибольшее M и
наименьшее m значения.
1. M = m. Тогда f (x) = M для всех x ∈ [a, b] и f
′
(x) = 0 на (a, b).
В качестве c можно взять любую точку из (a, b).
2. M > m. Так как f(a) = f(b), то одно из этих значений дости-
гается во внутренней точке c. По теореме 2 в этой точке f
′
(c) = 0.
Теорема 4 (Лагранжа). Если 1) f (x) определена и непрерывна на
отрезке [a, b]; 2) существует конечная производная f
′
(x) на (a, b), то
найдется такая точка c, a < c < b, что
f(b) − f(a)
b − a
= f
′
(c). (2.29)

Страницы