Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 88 стр.

UptoLike

88 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
Задачи для самостоятельного решения
3.2.6. Исходя из определения предела последовательности, дока-
жите, что: а) lim
n→∞
n + 2
n + 3
= 1; б) lim
n→∞
1
n + 4
= 0.
3.2.7 3.2.9. Найдите следующие пределы, обосновывая каж-
дую операцию:
3.2.7. а) lim
n→∞
3n
3
+ 5n
2
+ n + 1
n
3
2n + 2
; б) lim
n→∞
(n + 4)(n + 5)
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
;
в) lim
n→∞
n
4
+ 2n
2
+ 4
n
3
+ 5n + 3
; г) lim
n→∞
n
3
2n
2
+ 1
2n
3
+ 6
3
.
Ответы: а) 3; б) 0; в) ; г) 1/8.
3.2.8. а) lim
n→∞
4
16n
4
+ 2n
3
+ 3
n + 5
; б) lim
n→∞
2n + 5 2
18n + 1 3
;
в) lim
n→∞
4
n
5
+ 2
3
n
2
+ 1
3
n
4
+ 2
n
3
+ 1
; г) lim
n→∞
n
5
2n
2
+ 1 +
3
n
4
+ 1
4
n
10
+ 6n
5
+ 2
5
n
7
+ 3n
3
+ 1
.
Ответы: а) 2; б) 1/3; в) 0; г) 1.
3.2.9. а) lim
n→∞
(
3n + 5)
n); б) lim
n→∞
(
n
2
+ 3n + 1
n
2
+ 1);
в) lim
n→∞
(
3
n
3
+ 4n
2
+ 1
3
n
3
+ 6n
2
+ 2);
г) lim
n→∞
(
3
p
(n + 1)
2
3
p
(n 1)
2
).
Ответы: а) ; б) 3/2; в) 2/3; г) 0.
3.3. Предел функции (задачи 4, а, б)
Рекомендуется изучить подразделы 1.4, 1.5.1, 1.5.2, 1.5.5 и 1.6.1.
Особенно хорошо надо освоить подраздел 1.4 и знать все типы
окрестностей, их обозначения и формы записи в виде неравенс тв.
3.3.1. Используя теоремы о пределе произведения суммы и част-
ного, докажите, что: а) lim
xx
0
x
n
= x
n
0
;
б) lim
xx
0
P
n
(x) = lim
xx
0
(a
0
x
n
+ a
1
x
n1
+ . . . + a
n1
x + a
n
) =
= a
0
x
n
0
+ a
1
x
n1
0
+ . . . + a
n1
x
0
+ a
n
;
в) lim
xx
0
P
n
(x)
Q
m
(x)
= lim
xx
0
a
0
x
n
+ a
1
x
n1
+ . . . + a
n1
x + a
n
b
0
x
m
+ b
1
x
m1
+ . . . + b
m1
x + b
m
=
=
a
0
x
n
0
+ a
1
x
n1
0
+ . . . + a
n1
x
0
+ a
n
b
0
x
m
0
+ b
1
x
m1
0
+ . . . + b
m1
x
0
+ b
m
,
где n и m натуральные числа, a
i
и b
i
константы,
b
0
x
m
0
+ b
1
x
m1
0
+ . . . + b
m1
x
0
+ b
m
6= 0, x
0
конечно.