Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

90 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
(числитель и знаменатель разделили на x + 3 6= 0). Замечаем, что
числитель и знаменатель опять обращаются в нуль при x
0
= −3. На-
ходим A = lim
x→−3
(x + 3)(x −1)
(x + 3)(x − 9)
= lim
x→−3
(x − 1)
(x − 9)
=
−3 − 1
−3 − 9
=
4
12
=
1
3
.
3.3.5. Найдите A = lim
x→∞
2x + 4
3x + 5
.
Решение. Поделим числитель и знаменатель на x. Получим A =
= lim
x→∞
2 + 4/x
3 + 5/x
. По теореме о пределе частного и суммы и учитывая,
что lim
x→∞
4
x
= 0, lim
x→∞
5
x
= 0, находим A = lim
x→∞
2 + 4/x
3 + 5/x
=
2
3
.
3.3.6. Найдите A = lim
x→∞
7x
4
+ 2x
3
− 14
5x
4
+ x
3
+ x
2
− 1
.
Решение. Поделив числитель и знаменатель на x
4
, получим
A = lim
x→∞
7 + 2/x − 14/x
4
5 + 1/x + 1/x
2
− 1/x
4
. Затем применяем теоремы о пре-
деле суммы, произведения и частного. Учитывая, что lim
x→∞
2
x
= 0;
lim
x→∞
14
x
4
= 0; lim
x→∞
1
x
= lim
x→∞
1
x
2
= lim
x→∞
1
x
4
= 0, получаем, что A =
7
5
.
3.3.7. Найдите A = lim
x→∞
x
4
+ 2x
2
+ 1
x
3
+ 4x + 2
.
Решение. Поделим числитель и знаменатель на x
4
. Получим
A = lim
x→∞
1 + 2/x
2
+ 1/x
4
1/x + 4/x
3
+ 2/2x
4
= ∞, поскольку числитель стремится к
единице, а знаменатель — к нулю.
В частных случаях, встречающихся довольно часто, функция
f(x) может быть определена во всей окрестности V (x
0
), включая и
x
0
. Если при этом окажется, что lim
x→x
0
f(x) существует и равен f(x
0
),
т.е. lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
), то функция называется непрерывной в точке
x
0
.
В задаче 3.3.1 мы доказали непрерывность многочлена. Доказано,
что все элементарные функции непрерывны в каждой внутренней
точке их области определения.
В граничных точках возможна односторонняя непрерывность.
Эти точки подлежат дополнительному исследованию.
Для непрерывных функций в точке x
0
справедливы равенства:
lim
x→x
0
f(x) = f( lim
x→x
0
x) = f(x
0
),
lim
x→x
0
f[ϕ(x)] = f[ lim
x→x
0
ϕ(x)] = f[ϕ( lim
x→x
0
x)] = f[ϕ(x
0
)],

Страницы