Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Предел функции (задачи 4, а, б) 93
По свойству показательной функции при a > 1 следует, что
lim
x→−∞
a
t
= 0. Мы показали, что существуют конечные правый и ле-
вый пределы, но они неравны. Следовательно, предел не существует.
Итак, мы познакомились с понятием предела функции f(x). Ес-
ли функция в точке x
0
непрерывна, то отыскание предела lim
x→x
0
f(x)
не представляет труда. Он равен f(x
0
). Если же свойство непрерыв-
ности нарушено, то могут возникнуть неопределённости вида 0/0,
∞/∞, 0 · ∞, ∞ − ∞, ∞
0
, 0
0
, 1
∞
. C первыми двумя типами неопре-
делённостей мы уже встретились. Другие рассмотрим позднее.
Задачи для самостоятельного решения
3.3.14. Исходя из определения предела, докажите, что:
а) lim
x→1
1
x + 2
=
1
3
; б) lim
x→2−0
1
x − 2
= −∞; в) lim
x→2+0
1
x − 2
= +∞;
г) lim
x→−∞
1
x + 1
= lim
x→+∞
1
x + 1
= lim
x→∞
1
x + 1
= 0;
д) lim
x→1−0
arcsin x =
π
2
; е) lim
x→1
1
x + 1
6= 2; ж) lim
x→2
x
3
= 8.
3.3.15. Найдите: а) lim
x→2
(x
3
+4x−5); б) lim
x→3
4x
4
− 8x
2
+ 28
x
3
+ 1
, обос-
новывая ссылками на соответствующие теоремы каждую операцию.
Ответы: а) 11; б) 10.
3.3.16. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→1
x
2
− 6x + 5
x
2
− 3x + 2
; б) lim
x→3
x
3
− 27
x − 3
; в) lim
x→2
x
3
− 3x
2
+ 4
x
3
− 2x
2
− 4x + 8
.
Ответы: а) 4; б) 27; в) 3/4.
3.3.17. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→1
1 −
4
√
x
1 −
6
√
x
; б) lim
x→1
1 −
3
√
x
1 −
5
√
x
.
Указание. В примере а) сделать замену x = t
12
, в примере
б) — x = t
15
. Использовать формулу a
m
− b
m
= (a − b)(a
m−1
+
+a
m−2
b + . . . + ab
m−2
+ b
m−1
).
Ответы: а) 3/2; б) 5/3.
3.3.18. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→∞
3x
4
− 7x
2
+ 4x + 1
6x
4
+ 5x
3
− 2
; б) lim
x→∞
2x
2
− 3x + 1
x
2
+ 2
3
;
в) lim
x→∞
x
2
+ 4x + 1
x
3
+ x
2
+ 5
; г) lim
x→∞
2x
3
+ 4x
2
+ 1
2x
2
+ 1
.
Ответы: а) 1/2; б) 8; в) 0; г) ∞.

Страницы