Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

110 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
Решение: а) требуется найти такие C и r, чтобы lim
x→∞
x
r
α
1
(x)
C
был
равен 1. Имеем
lim
x→∞
(12x − 1)x
r
C(
√
9x
6
+ 1 − x)
= lim
x→∞
(12x − 1)x
r
C[|x
3
|
p
9 + (1/x
6
) − x]
=
= lim
x→∞
x [12 − (1/x)] x
r
C
h
|x
3
|
p
9 + (1/x
6
) − x
i
= lim
x→∞
(12 − (1/x))x
r−2
±C
h
p
9 + (1/x
6
) − (1/x
2
)
i
.
При x → +∞ нужно взять знак “+”, а при x → −∞ — знак “−”.
Видим, что предел конечен только при r = 2, при этом он равен
±
12
3C
. Так как должно быть ±
12
3C
= 1, то C = ±4. Итак, главная
часть равна γ(x) = ±
4
x
2
при x → ±∞;
б) находим r и C из условия, что lim
x→∞
x
r
· α
2
(x)
C
= 1,
или lim
x→∞
x
r
(e
2/x
− 1)
C · (x
5
+ 1)
= lim
x→∞
x
r
· 2/x
C · (1 + 1/x
5
)x
5
=
= lim
x→∞
2x
r−6
C · (1 + 1/x
5
)
=
2
C
при r = 6.
Так как по условию
2
C
= 1, то C = 2. Функция γ(x) =
2
x
6
является
главной частью бесконечно малой α
2
(x).
Мы в основном занимались бесконечно малыми величинами. По
теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми
величинами изучение бесконечно большой величины y(x) при x → x
0
можно свести к изучению бесконечно малой α(x) =
1
y(x)
при x → x
0
.
3.7.7. Выделите главную часть вида γ(x) =
C
(x − 2)
r
бесконечно
большой величины y =
4
(
√
5 − 2x − 1) ln(3 − x)
при x → 2.
Решение. Согласно сделанному замечанию мы можем свести
задачу к бесконечно малым либо исходить из определения главной
части бесконечно больших. По этому определению мы должны найти
такие константы C и r, чтобы предел lim
x→2
y
γ(x)
был равен единице. По
таблице эквивалентных бесконечных малых находим
√
5 − 2x − 1 =
=
p
1 − 2(x − 2) − 1 ∼ −(x − 2), ln(3 − x) = ln[1 − (x − 2)] ∼ −(x − 2).

Страницы