Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.7. Сравнение бесконечно малых 111
Поэтому
lim
x→2
y
γ(x)
= lim
x→2
4
(
√
5 − 2x − 1) ln(3 − x)
/(C/(x −2)
r
)
=
= lim
x→2
4(x − 2)
r
(x − 2)
2
C
.
Отсюда следует, что этот предел равен единице только при r = 2,
C = 4. Следовательно, функция γ(x) =
4
(x − 2)
2
является главной
частью бесконечно большой y(x) при x → 2.
При x → ∞, −∞, +∞ в качестве эталонной, как мы уже отме-
чали, берут величину β(x) = 1/x, а для бесконечно больших — ве-
личину y(x) = x. Все остальные действия ничем не отличаются от
действий в рассмотренных примерах.
Задачи для самостоятельного решения
3.7.8. Докажите, что функции:
а) f(x) =
2x − 6
x
2
+ 1
при x → 3;
б) f(x) =
arctg x
x
при x → +∞;
в) f(x) = (x − 2) cos
2
1
x − 2
при x → 2
являются бесконечно малыми.
3.7.9. Докажите, что функции:
а) f(x) =
x
2
− 4x + 4
sin
4
(x − 2)
+
1
x
2
− 4
при x → 2 + 0;
б) f(x) =
x − 1
ln(x
2
− 2x + 2)
при x → 1
являются бесконечно большими.
3.7.10. Докажите, что функция α(x) = ln(x
2
− 8x + 17) при
x → 4 имеет более высокий порядок малости по сравнению с функ-
цией β
1
(x) = tg(x − 4), более низкий порядок малости по сравнению
с функцией β
2
(x) = sin
3
(x − 4) и что ее порядок малости совпадает
с порядком малости функции β
3
(x) =
4
√
8x − x
2
− 15 − 1.
3.7.11. Докажите, что бесконечно большая функция ϕ(x) =
= x
3
+ 4x
2
− 1 при x → ∞ имеет более высокий порядок роста по
сравнению с функцией f
1
(x) = x
2
+ 2, более низкий порядок р оста
по сравнению с функцией f
2
(x) = 2x
5
+ 3x
2
+ 1 и тот же порядок
роста, что и функция f
3
(x) = 5x
3
+ 3.

Страницы