Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.5. Эллипс. Гипербола. Парабола 147
В новой системе координат уравнение параболы принимает вид
25y
2
1
−
20
5
(4x
1
− 3y
1
) +
110
5
(3x
1
+ 4y
1
) − 50 = 0, или 25y
2
1
+ 100y
1
+
+50x
1
− 50 = 0; 25(y
1
+ 2)
2
= 50(3 − x
1
); (y
1
+ 2)
2
= 2(3 − x
1
). Ви-
дим, что параметр p параболы равен единице.
Совершим параллельный перенос осей координат в новое начало
O
1
по формулам
x
2
= (x
1
− 3),
y
2
= y
1
+ 2.
или
x
1
= 3 + x
2
,
y
1
= −2 + y
2
.
Теперь
x
2
= (4x + 3y −15)/5,
y
2
= (−3x + 4y + 10)/5.
Рис. 9.7.
В системе координат (O
1
, i
1
, j
1
)
парабола имеет уравнение y
2
2
=
= −2x
2
. Осью симметрии явля-
ется прямая y
2
= 0, т.е. 3x−
−4y −10 = 0. Вершина O
1
пара-
болы находится в точке x
2
= 0,
y
2
= 0, следовательно, её коор-
динаты удовлетворяют системе
уравнений
4x + 3y = 15,
3x − 4y = 10.
Решая систему, получаем
O
1
18
5
,
1
5
— вершину параболы. Теперь можно построить дан-
ную параболу. Для этого в старой системе строим новую систему
координат, а затем строим параболу (рис. 9.7).
Задачи для самостоятельного решения
9.5.3. Каждое из уравнений
а) 14x
2
+ 24xy + 21y
2
− 4x + 18y −139 = 0,
б) 11x
2
− 20xy −4y
2
− 20x − 8y + 1 = 0,
в) 9x
2
+ 24xy + 16y
2
− 18x + 226y + 229 = 0
приведите к каноническому виду; определите, какие геометрические
образы они определяют; укажите координаты центра симметрии и
уравнение фокальной оси, если кривая — эллипс или гипербола, и
координаты вершины, если кривая парабола; укажите величины по-
луосей для эллипса или гиперболы, или величину параметра p для
параболы; укажите координаты новых базисных векторов; в случае
параболы запишите уравнение оси симметрии; постройте кривые в
старой си стеме координат.
Ответы: а) эллипс; б) гипербола; в) парабола.

Страницы