ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9.5. Эллипс. Гипербола. Парабола 145
Полагая ξ
1
= 1, найдём единичный собственный вектор i
1
=
=
1
√
2
,
1
√
2
. По свойству собственных векторов симметрического
оператора второй собственный вектор j
1
ортогонален вектору i
1
. Вы-
берем вектор j
1
=
−
1
√
2
,
1
√
2
таким образом, чтобы базис (i
1
, j
1
)
был правым. От старого базиса (0, i, j) перейдём к новому бази-
су (0, i
1
, j
1
). Матрица перехода имеет вид Q =
1/
√
2 −1/
√
2
1/
√
2 1/
√
2
,
Q
−1
= Q
T
=
1/
√
2 1/
√
2
−1/
√
2 1/
√
2
. Старые координаты (x, y) связа-
ны с новыми (x
1
, y
1
) соотношениями
x
y
= Q
x
1
y
1
,
x
1
y
1
=
= Q
−1
x
y
, или
x = (x
1
− y
1
)/
√
2,
y = (x
1
+ y
1
)/
√
2,
x
1
= (x + y)/
√
2,
y
1
= (−x + y)/
√
2
(см.
формулы (3.18)).
В новой системе координат уравнение данной кривой п римет сле-
дующий вид: 8x
2
1
− 2y
2
1
−
2
√
2
(x
1
− y
1
) −
14
√
2
(x
1
+ y
1
) − 13 = 0, или
8x
2
1
−
16
√
2
x
1
− 2y
2
1
−
12
√
2
y
1
− 13 = 0. Выделяя полные квадраты, по-
лучаем
8
x
1
−
1
√
2
2
− 2
y
1
+
3
√
2
2
− 13 − 4 + 9 = 0,
8
x
1
−
1
√
2
2
− 2
y
1
+
3
√
2
2
= 8,
Рис. 9.6.
x
1
−
1
√
2
2
1
−
y
1
+
3
√
2
2
4
= 1.
Видим, что действительная полу-
ось a = 1, а мнимая b = 2.
Произведём преобразование
параллельного переноса системы
координат в новое начало O
1
по
формулам
x
2
= x
1
−
1
√
2
,
y
2
= y
1
+
3
√
2
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- …
- следующая ›
- последняя »
