ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
144 9. Методические указания (контрольная работа №2)
9.4.10. Запишите уравнение сферы с центром в точке C(5, −4, 2)
и радиусом R = 3.
Ответ. (x − 5)
2
+ (y + 4)
2
+ (z −2)
2
= 9.
9.4.11. Найдите центр и радиус сферы x
2
+ y
2
+ z
2
− 4x − 2y+
+2z − 19 = 0.
Ответ. C(2, 1, −1), R = 5.
9.4.12. Запишите уравнение сферы с центром в точке
C(3, −5, −2), касающейся плоскости 2x − y − 3z + 11 = 0.
Ответ. (x − 3)
2
+ (y + 5)
2
+ (z + 2)
2
= 56.
9.4.13. Запишите уравнение касательной плоскости к сфере
(x − 3)
2
+ (y − 1)
2
+ (z + 2)
2
= 24 в точке M(−1, 3, 0).
Ответ. 2x − y − z + 5 = 0.
9.5. Эллипс. Гипербола. Парабола
(задачи 8, 9, 10)
В контрольную работу № 2 на тему “Кривые второго порядка”
включены задачи 8, 9 и 10. Задачи 8 и 9 трудностей не представляют
(см. пример 2 в п. 7.1 и примеры в п. 7.6, 7.7). Приведём решение
задачи 10.
9.5.1. Дана кривая 3x
2
+ 10xy + 3y
2
− 2x − 14y − 13 = 0 относи-
тельно правой декартовой системы координат. Докажите, что эта
кривая — гипербола. Найдите её действительную, мнимую полуоси
и центр симметрии. Запишите уравнение фокальной оси. Постройте
данную гиперболу.
Решение. Квадратичную форму B(x, y) = 3x
2
+ 10xy + 3y
2
при-
водим к главным осям. Для этого записываем матрицу этой квадра-
тичной формы B =
3 5
5 3
и находим её собственные числа и соб-
ственные векторы. Записываем и решаем характеристическое урав-
нение матрицы B:
3 − λ 5
5 3 − λ
= λ
2
− 6λ − 16 = 0,
λ
1,2
= 3 ±
√
9 + 16 = 3 ±5, λ
1
= 8, λ
2
= −2.
Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное урав-
нение определяет кривую гиперболического типа. Находим собствен-
ные векторы матрицы B. Для собственного числа λ
1
= 8 получаем
систему
−5ξ
1
+ 5ξ
2
= 0,
5ξ
1
− 5ξ
2
= 0,
отсюда ξ
1
= ξ
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- …
- следующая ›
- последняя »
