Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

142 9. Методические указания (контрольная работа №2)
9.3.31. Вычислите расстояние между прямыми
x + 7
3
=
y + 4
4
=
z + 3
−2
;
x − 21
6
=
y + 5
−4
=
z − 2
−1
.
Ответ. 13.
9.3.32. Составьте уравнение плоскости, проходящей через пря-
мую
(
x = t + 1,
y = 3t − 2,
z = 4t
параллельно прямой
2x − y + z − 3 = 0,
x + 2y − z − 5 = 0.
Ответ. x − 3y + 2z − 7 = 0.
9.3.33. Запишите параметрические уравнения прямой, кото-
рая проходит через точку M
0
(3, −2, −4) параллельно плоскости
3x − 2y −3z − 17 = 0 и пересекает прямую
x − 2
3
=
y + 4
−2
=
z − 1
3
.
Ответ.
(
x = 5t + 3,
y = −6t − 2,
z = 9t − 4.
9.4. Окружность. Сфера (задача 7)
Окружность с центром в точке (x
0
, y
0
) радиуса R на плоско-
сти можно задать уравнением (x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
= R
2
. Уравне-
ние вида a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ 2a
12
xy + a
01
x + a
02
y + a
00
= 0 определяет
на плоскости окружность, если a
11
= a
22
6= 0, a
12
= 0. При этом кри-
вая может выродиться в точку или быть мнимой.
Сферу с центром в точке (x
0
, y
0
) радиуса R можно задать уравне-
нием (x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
= R
2
. Уравнение a
11
x
2
+a
22
y
2
+
+a
33
z
2
+ 2a
12
xy + 2a
13
xz + 2a
23
yz + a
01
x + a
02
y + a
03
z + a
00
= 0 опре -
деляет сферу, если a
11
= a
22
= a
33
6= 0, a
12
= a
13
= a
23
= 0. При этом
поверхность может выродиться в точку или быть мнимой.
9.4.1. Докажите, что уравнение x
2
+ y
2
+ 6x − 10y = 11 опреде-
ляет окружность. Найдите её центр и радиус. Запишите уравнение
касательной к этой окружности в точке M
0
(0, −1).
Решение. Выделяем полные квадраты: (x + 3)
2
− 9 + (y − 5)
2
−
−25 = 11, (x + 3)
2
+ (y − 5)
2
= 45. Видим, что заданная кривая —
окружность и центр её находится в точке C(−3, 5), а радиус R =
√
45.
Как известно, касательная к окружности перпендикуляр-
на радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому вектор
CM
0
= (3, −6)k(1, −2) можно принять в качестве вектора нормали
касательной, следовательно, уравнение касательной можно записать
в виде x − 2y + C = 0. Эта прямая проходит через точку M
0
(0, −1),
т.е. 2 + C = 0, C = −2. Уравнение x − 2y − 2 = 0 — искомое.
Ответ. C(−3, 5), R =
√
45, x − 2y − 2 = 0.

Страницы