Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.4. Окружность. Сфера (задача 7) 143
9.4.2. Докажите, что уравнение x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x + 4y −8z + 2 = 0
определяет сферу, найдите её центр, радиус и уравнение касательной
плоскости в точке M
0
(2, 1, 5).
Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квад-
раты: (x + 1)
2
+ (y + 2)
2
+ (z − 4)
2
− 1 − 4 −16 + 2 = 0, (x + 1)
2
+
+(y + 2)
2
+ (z −4)
2
= 19. Следовательно, данное уравнение опреде-
ляет сферу с центром в точке C(−1, −2, 4) радиуса R =
√
19. Век-
тор CM
0
= (3, 3, 1) является вектором нормали касательной плос-
кости к сфере в точке M
0
. Поэтому уравнение этой плоскости:
3x + 3y + z + D = 0. Точка M
0
(2, 1, 5) лежит в плоскости. Поэтому
6 + 3 + 5 + D = 0, D = −14. Уравнение 3x + 3y + z − 14 = 0 — иско-
мое.
Ответ. C(−1, −2, 4), R =
√
19, 3x + 3y + z − 14 = 0.
Задачи для самостоятельного решения
9.4.3. Запишите уравнение окружности с центром в точке
C(4, −6), радиус которой R = 5.
Ответ. (x − 4)
2
+ (y + 6)
2
= 25.
9.4.4. Запишите уравнение окружности, проходящей через точку
M(3, −2), с центром в точке C(−5, 4).
Ответ. (x + 5)
2
+ (y − 4)
2
= 100.
9.4.5. Запишите уравнение окружности, проходящей через три
данные точки: M
1
(−1, 5); M
2
(−2, −2) и M
3
(5, 5).
Указание. Центр окружности, описанной около треугольника, яв-
ляется точкой пересечения срединных перпендикуляров к сторонам
треугольника.
Ответ. (x − 2)
2
+ (y − 1)
2
= 25.
9.4.6. Запишите уравнения окружностей, которые проходят че-
рез точку A(1, 0) и касаются двух параллельных прямых 2x + y+
+2 = 0, 2x + y − 18 = 0.
Ответ. (x − 5)
2
+ (y + 2)
2
= 20, (x − 9/5)
2
+ (y − 22/5)
2
= 20.
9.4.7. Запишите уравнение окружности с центром в точке
C(1, −1), касающейся прямой 5x − 12y + 9 = 0.
Ответ. (x − 1)
2
+ (y + 1)
2
= 4.
9.4.8. Найдите центр и радиус окружности x
2
+ y
2
− 2x + 4y−
−20 = 0.
Ответ. C(1, −2), R = 5.
9.4.9. Запишите уравнение касательной к окружности (x + 2)
2
+
+(y − 3)
2
= 25 в точке A(−5, 7).
Ответ. 3x − 4y + 43 = 0.

Страницы