Макроэкономика. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Рубрика: 

43
а) Полагая, что
r
=ρ и функция полезности квадратичная
0,,cc)c(u
2
ttt
>βαβ−α=
, найдите
оптимальное потребление для второй группы.
б) Пусть динамика совокупного дохода задана как
t1tt
yy
ε
+
=
−
, где
t
ε
-ошибка, причем 0E
t
=
ε
и
ошибки независимы. Пусть совокупное потребление равно:
2t1tt
ccc
+
=
. Каково соотношение между
дисперсией
t
c∆
и дисперсией
t
y∆
?
в) Предположим, что в реальности мы наблюдаем, что дисперсия
t
c
∆
меньше, чем дисперсия
t
y
∆
.
Принимая во внимание вывод о соотношении этих дисперсий, полученный в пункте (б), может ли мы из
этого эмпирического наблюдения сделать вывод, что большинство людей ведет себя в соответствии с
теорией перманентного дохода, то есть
0
=
λ ?
в) Полагая, дисперсия
t
c∆ меньше, чем дисперсия
t
y
∆
, какой вывод мы можем сделать относительно
влияния временного снижения налогов на совокупное потребление?
Решение.
а) Обозначим множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению через µ и выпишем
условия первого порядка для задачи максимизации ожидаемой полезности:
по
µ
=
′
)c(uE:c
t2tt2
;
по
r1
)c(uE
1
1
:c
1t2t1t2
+
µ
=
′
ρ+
++
.
Поделив эти условия, получим:
r1
1
)c(uE
)c(uE
t2t
1t2t
+
ρ+
=
′
′
+
. Полагая, что
r
=
ρ
, получим:
)c(uE)c(u
1t2tt2 +
′
=
′
. В
силу квадратичности функции полезности имеем:
1t2t1t2t1t2tt2t2
cE2)c2(E)c(uEc2)c(u
+++
β
−
=
β−=
′
=β−=
′
, откуда получаем
1t2tt2
cEc
+
=
. Подставляем в
бюджетное ограничение
∑∑∑∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
+
λ
−
=
+
=
+
=
+
=
+
0j
j
jtt
t2
0j
j
t2
0j
j
t2
0j
j
jt2t
)r1(
yE)1(
r
r1
c
)r1(
1
c
)r1(
c
)r1(
cE
, откуда находим потребление
второй группы в период
t :
∑
∞
=
+
+
λ−
+
=
0j
j
jtt
t2
)r1(
yE)1(
r1
r
c
.
Итак, потребители второй группы в каждый период будут потреблять фиксированную долю
)r1/(r
+
своего жизненного дохода.
б) Поскольку
t1tt
yy ε+=
−
, причем
0E
t
=ε
, то
t1tttt1tt
yEyEyE
=
ε
+
=
++
и по аналогии можно показать,
что
tjtt
yyE =
+
.
Найдем изменение потребления для каждой группы. 
а) Полагая, что ρ = r и функция полезности квадратичная u( ct ) = αct − β ct2 , α ,β > 0 , найдите
оптимальное потребление для второй группы.
б) Пусть динамика совокупного дохода задана как y t = y t −1 + ε t , где ε t -ошибка, причем Eε t = 0 и

ошибки независимы. Пусть совокупное потребление равно: ct = ct 1 + ct 2 . Каково соотношение между

дисперсией ∆ct и дисперсией ∆y t ?

в) Предположим, что в реальности мы наблюдаем, что дисперсия ∆ct меньше, чем дисперсия ∆y t .

Принимая во внимание вывод о соотношении этих дисперсий, полученный в пункте (б), может ли мы из
этого эмпирического наблюдения сделать вывод, что большинство людей ведет себя в соответствии с
теорией перманентного дохода, то есть λ = 0 ?
в) Полагая, дисперсия ∆ct меньше, чем дисперсия ∆y t , какой вывод мы можем сделать относительно
влияния временного снижения налогов на совокупное потребление?
Решение.
а) Обозначим множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению через µ и выпишем
условия первого порядка для задачи максимизации ожидаемой полезности:
             по c 2 t : Et u ′( c 2 t ) = µ ;

                                 1                         µ
             по c 2 t +1 :           Et u ′( c 2 t +1 ) =      .
                                1+ ρ                      1+ r
                                                    Et u ′( c 2 t +1 ) 1 + ρ
Поделив эти условия, получим:                                         =      . Полагая, что ρ = r , получим: u ′( c 2 t ) = Et u ′( c 2 t +1 ) . В
                                                    Et u ′( c 2 t ) 1 + r
силу квадратичности функции полезности имеем:
u ′( c 2 t ) = −2βc 2 t = Et u ′( c 2 t +1 ) = Et ( −2βc 2 t +1 ) = −2βEt c 2 t +1 , откуда получаем c 2 t = Et c 2 t +1 . Подставляем в
бюджетное ограничение
        Et c 2t + j                                                                ∞ ( 1 − λ )E y
 ∞                          ∞
                                    c2t             ∞
                                                             1             1+ r
∑ (1+ r )                 =∑                    2t ∑                              ∑
                                                                                               t t+ j
                                            = c                     = c 2t      =                     , откуда находим потребление
                           j =0 ( 1 + r )          j =0 ( 1 + r )                        (1+ r )j
                      j                   j                       j
 j =0                                                                       r     j =0


второй группы в период t :
                            r ∞ ( 1 − λ )E t y t + j
              c2t =             ∑
                          1 + r j =0 ( 1 + r ) j
                                                     .

Итак, потребители второй группы в каждый период будут потреблять фиксированную долю r /( 1 + r )
своего жизненного дохода.
б) Поскольку y t = y t −1 + ε t , причем Eε t = 0 , то E t y t +1 = Et y t + Et ε t +1 = y t и по аналогии можно показать,

что E t y t + j = y t .

Найдем изменение потребления для каждой группы.
                                                                                                                                                43

Страницы