Компьютерное моделирование физических явлений. Малютин В.М - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство того, что после достаточного числа шагов
алгоритм Метрополиса генерирует состояния с вероятностью,
пропорциональной распределению Больцмана, мало дает для
физического понимания алгоритма. Вместо этого можно применить
этот алгоритм к идеальному классическому газу и классическому
магниту в магнитном поле и убедиться, что по прошествии
достаточного времени алгоритм Метрополиса действительно дает
распределение Больцмана.
Хотя мы выбираем в качестве π
s
распределение Больцмана,
возможны и другие варианты, например π
s
= ω
s
ехр (–
β
E
s
). Принятие
другого распределения, т.е. с непостоянным значением ω
s
, для
некоторых задач оказывается полезным. Кроме того, указанный выше
выбор вероятности перехода W не является единственным приводящим
к распределению Больцмана в асимптотическом пределе. Можно
показать, что единственное требование заключается в том, чтобы W
удовлетворяло принципу «детального равновесия»:
, (8.14)
1
(1 2) exp( / ) (2 1) exp( / )WEkTWE→− =→−
2
kT
где W(1→2) — вероятность перехода в единицу времени системы из
конфигурации 1 в конфигурацию 2.
■
Вероятностная модель Изинга для канонического ансамбля
Пусть n – размер решетки, m – число шагов, B – внешнее магнитное поле в единицах 1/kT,
J – энергия взаимодействия в единицах 1/kT.
1. Создадим двумерный массив, размерностью n на n, в каждую ячейку которой случайным
образом записывается 1 или -1. Начальная решетка : lat
initconfig = 2*Table[Random[Integer], {n}, {n}] - 1;
lat = initconfig;
Следующая последовательность шагов 2-4 должна быть выполнена несколько раз (это
указано и в п. 5), первый раз используется начальная конфигурация решетки, а затем
конфигурация, полученная в расчете на предыдущем шаге.
2. Выберем случайную ячейку в lat
{i1,i2} = {Random[Integer, {1, n}], Random[Integer, {1, n}]}
3. Определим изменение энергии, которая получится в результате переворота спина в
выбранной ячейке. Это делается за несколько шагов:
3а. Определим число соседей выбранной ячейки. Если ячейка находится внутри решетки
lat, у нее может быть четыре соседних места: верхнее, нижнее, правое, левое. Когда
выбранная ячейка находится на границе lat, соседними считаются места с
противоположной стороны решетки.Такой выбор соседей для граничных ячеек называется
периодическими граничными условиями. Соседи выбранной ячейки — это места
lat[[dn,i2]] (нижний сосед), lat[[up,i2]] (верхний сосед), lat[[i1,rt]]
(правый сосед), lat[[i1,lt]] (левый сосед). Величины dn, up, rt, lt
определяются согласно условиям:
148

Страницы