Компьютерное моделирование физических явлений. Малютин В.М - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

С помощью формулы (8.6) можно получить среднее по ансамблю
от рассматриваемых физических величин. Например, средняя энергия
равна
1
exp( )
s
ss
ss
EEP E
Z
β
<>= = −
∑∑
s
E
s
β
. (8.8)
Заметим, что в каноническом ансамбле возможны флуктуации
энергии.
8.4. Алгоритм Метрополиса
Как можно промоделировать систему N частиц, находящихся в
объеме V при постоянной температуре Т? Если сгенерировать только
ограниченное число т из полного числа М конфигураций, то можно
надеяться получить оценку среднего значения <А> из выражений
exp( ) / exp( )
MM
ss
ss
AA E E
β
<>= − − ≈
∑∑
(8.9)
exp( ) / exp( )
mm
s
s
ss
s
A
AE
β
<>= − −
∑∑
E
β
, (8.10)
где E
s
и А
s
обозначают полную энергию и значение физической
величины А в конфигурации s. Здесь можно применить простейшую
процедуру Монте-Карло, состоящую в том, что генерируется случайная
конфигурация, вычисляются E
s
, А
s
и произведение A
s
exp(-
β
E
s
) и
подсчитывается соответствующий вклад этой конфигурации в суммы
(8.10). Однако каждая такая конфигурация была бы, по-видимому,
очень маловероятна и поэтому давала бы малый вклад в сумму. Вместо
этого нужно пользоваться методом существенной выборки и
генерировать конфигурации в соответствии с функцией распределения
вероятностей π
s
. Поскольку усреднение будет проводиться по m
конфигурациям смещенной выборки, для исключения этого смещения
необходимо взвешивать каждую конфигурацию с множителем 1/π
s
:
11
exp( ) / exp( )
mm
s
ss
ss
A
AE E
β
β
ππ
<>= − −
∑∑
. (8.11)
Анализ формулы (8.11) убеждает в том, что в качестве π
s
целесообразно
выбрать распределение Больцмана
exp( )
exp( )
s
s
s
s
E
E
β
π
β
=
−
∑
. (8.12)
В результате такого выбора π
s
величину <А> можно записать в виде
146

Страницы