ВУЗ:
Составители:
4. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
Первоначальную формулировку задачи о «случайных
блужданиях» предложил Пирсон в 1906 г. Если пешеход делает N шагов
равной длины от фонарного столба в произвольных направлениях, то
как далеко отойдет он от этого столба? Со времени такой формулировки
модели случайного блуждания получили широкое распространение в
физике, биологии и общественных науках. Хорошо знакомыми по
учебникам приложениями этой модели являются диффузия молекулы в
газе и броуновское движение коллоидных взвесей в жидкости. Другим
важным приложением методов случайного блуждания служит
моделирование длинных полимерных цепочек. В действительности,
многие задачи, как, например, решение уравнения Шредингера, можно
переформулировать на языке случайного блуждания. Однако чтобы
хорошо разбираться в этих приложениях, сначала необходимо изучить
простые модели.
4. 1. Одномерное случайное блуждание
Рассмотрим идеализированную одномерную задачу о движении
пешехода, который начинает двигаться от фонарного столба,
расположенного в точке х = 0
(рис. 4.1). Все шаги имеют
одинаковую длину l. Направление
каждого шага пешехода не
зависит от направления
предыдущего. На каждом шаге по
времени пешеход делает шаг
вправо с вероятностью р и шаг
влево с вероятностью q = (1 – р).
Пусть п
→
— обозначает количество шагов вправо, а п
←
— влево. Полное
число шагов равно N = п
→
+ п
←
. Тогда полное смещение пешехода от
начала координат после N шагов равно х = (п
→
- п
←
)l, где –Nl < х < Nl.
Основной интересующей нас величиной является вероятность P
N
(х)
того, что после N шагов пешеход окажется на расстоянии х от столба.
Мы можем вычислить среднее смещение <х
N
> и дисперсию <Δх
N
2
>
смещения пешехода по формулам:
Рис. 4.1. Одномерное случайное
бл
у
ждание пешехода
, (4.1)
∑
−=
>=<
Nl
Nlx
NN
xxPx )(
и
56
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
