ВУЗ:
Составители:
, (4.2)
222
><−>>=<Δ<
NNN
xxx
где . (4.3)
∑
−=
>=<
Nl
Nlx
NN
xPxx )(
22
Усреднение производится по всем возможным блужданиям,
состоящим из N шагов.
Исследование задачи случайного блуждания, сформулированной
выше, можно провести аналитически, воспользовавшись теорией
вероятностей. В результате для величин <x
N
> и < > получаются
2
Δ
N
x
аналитические выражения
()
N
x
pqNl<>=− (4.4)
и
22
4 pqNlx
N
>=< . (4.5)
Заметим, что, согласно формуле (4.4) в симметричном
случае р = q = 1/2 получаем среднее <X
N
> = 0.
Теперь рассмотрим пример случайного блуждания с другой точки
зрения: на языке диффузии молекулы в разреженном газе.
Предположим, что молекула пробегает расстояние
l между
столкновениями с другими молекулами.
Допустим, что последовательные смещения молекулы между
столкновениями статистически независимы, тогда движение молекулы
тождественно блужданию пешехода. Поскольку движение такой
молекулы можно к тому же объяснить некоторым диффузионным
процессом, опишем кратко связь случайного блуждания с диффузией, а
точнее с самодиффузией (диффундирование собственных частиц
вещества). Процесс диффузии частично характеризуется линейным
соотношением
2
() 2
R
td<Δ >= Dt , (4.6)
связывающим между собой время
t и дисперсию смещения молекулы
<
ΔR(t)
2
> из начального положения при t=0. Коэффициент
пропорциональности
D в формуле (4.6) называется коэффициентом
самодиффузии
молекулы, a d - размерностью пространства. Чтобы
сопоставить (4.5) и (4.6), положим время между шагами равным
τ, так
что
N = t/ τ, и отождествим длину свободного пробега с шагом
пешехода
l. Тогда формулу (4.5) можно переписать в виде
22
4(/)
x
pql t
τ
<Δ >= . (4.7)
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
