ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
I. ȼɵɜɨɞ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ
,,,uxyzt ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɫɪɟɞɵ ɜ ɬɨɱɤɟ
,,
x
yz ɜ
ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ . ɉɨɞɫɱɢɬɚɟɦ ɛɚɥɚɧɫ ɬɟɩɥɚ ɜ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɦ ɨɛɴɟɦɟ
V ɡɚ
ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ
t
12
,tt . Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ ɝɪɚɧɢɰɭ V , – ɧɨɪɦɚɥɶ ɤ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ. Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɫɪɟɞɚ
ɢɡɨɬɪɨɩɧɚ, ɬ. ɟ. ɱɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɡɚɜɢɫɢɬ
ɨɬ ɬɨɱɤɢ
Sn
S
k
,,
x
yz ɬɟɥɚ ɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɢ ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ
ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ.
S
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ Ɏɭɪɶɟ, ɱɟɪɟɡ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɜ ɨɛɴɟɦɟ V ɩɨɫɬɭɩɚɟɬ
ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɚ:
S
2
1
1
t
tS
u
Q k dsdt
n
w
§·
¨¸
w
©¹
³³³
. (1)
ȼɵɪɚɠɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɫɬɨɢɬ ɜ ɮɨɪɦɭɥɟ (1) ɜ ɤɪɭɝɥɵɯ ɫɤɨɛɤɚɯ,
ɧɚɡɵɜɚɸɬ
ɬɟɩɥɨɜɵɦ ɩɨɬɨɤɨɦ
– ɷɬɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɚ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɝɨ ɱɟɪɟɡ
ɟɞɢɧɢɰɭ ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɡɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ
u
qk
n
w
w
. (2)
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɜɧɭɬɪɢ ɢɦɟɸɬɫɹ ɢɫɬɨɱɧɢɤɢ ɬɟɩɥɚ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ
ɱɟɪɟɡ
,,,Fxyzt ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ (ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɨɝɥɨɳɺɧɧɨɝɨ ɢɥɢ ɜɵɞɟɥɹɟɦɨɝɨ
ɬɟɩɥɚ ɜ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟɧɢ ɟɞɢɧɢɰɟɣ ɨɛɴɺɦɚ)
ɬɟɩɥɨɜɵɯ ɢɫɬɨɱɧɢɤɨɜ.
Ɂɚ ɫɱɺɬ ɬɟɩɥɨɜɵɯ ɢɫɬɨɱɧɢɤɨɜ ɜ ɨɛɴɺɦɟ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ
ɬɟɩɥɚ:
V
. (3)
1
2
2
(, ,,)
t
tV
Q F x y z t dVdt
³³³³
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɜ ɨɛɴɺɦɟ V ɜɵɪɨɫɥɚ ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ
21
,,, ,,,uxyzt uxyzt ,
ɬɨ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɬɪɚɬɢɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɚ
321
,,, ,,,
V
QuxyztuxyztcdV
U
ªº
¬¼
³³³
, (4)
ɝɞɟ
(,,)
x
yz
U
- ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ;
,,cxyz – ɭɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɩɥɨɺɦɤɨɫɬɶ.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɛɚɥɚɧɫɚ ɬɟɩɥɚ ɞɥɹ ɜɵɞɟɥɟɧɧɨɝɨ
ɨɛɴɺɦɚ V.Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ
31
QQQ
2
, ɬ. ɟ.
22 2
11 1
,, ,,,
tt t
tV tS tV
u
dt c dV k x y z dsdt F x y z t dVdt
n
U
w
§·
¨¸
w
©¹
³ ³³³ ³³³ ³³³³
, (5)
ɬɚɤ ɤɚɤ
3
I. ����� ��������� ����������������
��������� ����� u � x, y , z , t � ����������� ����� � ����� � x, y , z � �
������ ������� t . ���������� ������ ����� � ������������ ������ V ��
���������� ������� � t1 , t2 � . ��������� ����� S ������� V , n – ������� �
����������� S � ����������� �������� �����. ����� �������, ��� �����
���������, �. �. ��� ����������� ���������� ���������������� k �������
�� ����� � x, y , z � ���� � �� ������� �� ����������� ������� � �����������
S � ���� �����.
�������� ������ �����, ����� ����������� S � ������ V ���������
���������� �����:
t2
� �u �
Q1 � � �� � � k �dsdt . (1)
t1 S � �n �
���������, ������� ����� � ������� (1) � ������� �������,
�������� �������� ������� – ��� ���������� �����, ����������� �����
������� ������� ����������� �� ������� �������, � ����������
�u
q � �k . (2)
�n
�����������, ��� ������ ������� ��������� �����. ���������
����� F � x, y , z , t � ��������� (���������� ������������ ��� �����������
����� � ������� ������� �������� ������) �������� ����������.
�� ���� �������� ���������� � ������ V ��������� ����������
�����:
t1
Q2 � � � � � F ( x, y , z , t )dVdt . (3)
t2 V
��� ��� ����������� � ������ V ������� �� ��������
u � x, y , z, t2 � � u � x, y , z, t1 � ,
�� ��� ����� ���������� ��������� ���������� �����
Q3 � � � � ��u � x, y , z , t2 � � u � x, y , z , t1 � �� c � dV , (4)
V
��� � ( x, y , z ) - ���������; c � x, y , z � – �������� ������������.
�������� ������ ��������� ������� ����� ��� �����������
������ V . ��������, ��� Q3 � Q1 � Q2 , �. �.
t2 t t
2
� �u � 2
�t � V� �
dt c � dV � �t �S � �� � k � x , y , z � �dsdt � �t � V� � F � x, y, z, t � dVdt , (5)
1 1
�n � 1
��� ���
3
