Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 


2
1
21
,,, ,,,
t
t
u
uxyzt uxyzt dt
t
w
w
³
.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ Ɉɫɬɪɨɝɪɚɞɫɤɨɝɨ ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɟ,
ɢɦɟɟɦ
2
1
[div()(,,,)]
t
tV
u
dt c kgradu F x y z t dV
n
U
w
0
w
³³³³
. (6)
ȼ ɫɢɥɭ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ,
ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɫɬɢ ɨɛɴɺɦɚ
ɢ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ ɜɪɟɦɟɧɢV
12
,tt , ɩɨɥɭɱɢɦ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ:
),,,()( tzyxFugradkdiv
n
u
c
w
w
U
. (7)
ȿɫɥɢ ɫɪɟɞɚ ɨɞɧɨɪɨɞɧɚ, ɬ. ɟ.,,
ck
U
– ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ, ɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (7)
ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ:
f
z
u
y
u
x
u
a
n
u
w
w
w
w
w
w
w
w
)(
2
2
2
2
2
2
2
, (8)
ɝɞɟ
2
k
a
cg
,
F
f
cg
.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (8) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ.
ɑɢɫɥɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɜ ɷɬɨɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ
ɥɸɛɵɦ. ȿɫɥɢ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ
,,
x
yt (ɜ ɬɨɧɤɨɣ ɩɥɚɫɬɢɧɟ),
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:

22
2
22
,,
uuu
af
txy
ªº
www
«»
www
¬¼
txy .
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɫɬɟɪɠɧɹ:
2
2
2
(, , )
uu
aftx
tx
ww
ww
y
.
Ʉɚɤ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɞɥɹ ɩɨɥɧɨɝɨ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɩɪɨɰɟɫɫɚ
ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɞɚɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɜ ɫɪɟɞɟ (ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ) ɢ ɪɟɠɢɦ ɧɚ ɝɪɚɧɢɰɟ ɫɪɟɞɵ
(ɝɪɚɧɢɱɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ).
ɉɪɢɦɟɪɵ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ
1. ȿɫɥɢ ɧɚ ɝɪɚɧɢɰɟ ɩɨɞɞɟɪɠɢɜɚɟɬɫɹ ɡɚɞɚɧɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ u,ɬɨ
S
0
S
uu . (9)
2. ȿɫɥɢ ɧɚ S ɩɨɞɞɟɪɠɢɜɚɟɬɫɹ ɡɚɞɚɧɧɵɣ ɩɨɬɨɤ ɬɟɩɥɚ , ɬɨ
1
u
4
                                                                t2
                                                                   �u
                        u � x, y , z, t2 � � u � x, y, z, t1 � � �    dt .
                                                                t1
                                                                   �t
     ������������� �������� �������������� �� ������ ���������,
�����
             t2
                                �u
             �t dt � V� � [ c � � n � div( kgradu ) � F ( x , y , z , t )]dV � 0 . (6)
               1

     � ���� ����, ��� ��������������� ������� ����������,
�������������� ������ V � ���������� ������� � t1 , t2 � , �������
��������� ��������������� �����:
                     �u
                       c�
                        � div(k grad u ) � F ( x, y, z, t ) .         (7)
                     �n
      ���� ����� ���������, �. �. c, � , k – ����������, �� ��������� (7)
������ ���:
                              �u       � 2 u � 2u � 2u
                                 � a2 ( 2 � 2 � 2 ) � f ,                         (8)
                              �n       �x    �y   �z
         k       F
��� a 2 �  , f �    .
        cg       cg
     ��������� (8) ���������� ���������� ����������������.
     ����� ���������������� ���������� � ���� ��������� ����� ����
�����. ���� ����������� ������� ������ �� x, y , t (� ������ ��������),
��������� ���������������� ����� ���:
                      �u       � � 2u � 2u �
                         � a 2 � 2 � 2 � � f � t , x, y � .
                      �t       � �x   �y �
     ��������� ���������������� �������:

                          �u      � 2u
                             � a 2 2 � f (t , x, y ) .
                          �t      �x
      ��� � ������ ��������� ���������, ��� ������� �������� ��������
��������������� ����� ���������� ������ ��������� �������������
����������� � ����� (��������� �������) � ����� �� ������� �����
(��������� �������).

                        ������� ��������� �������

     1. ���� �� ������� S �������������� �������� �������������
����������� u , ��
                              u S � u0 .                      (9)
     2. ���� �� S �������������� �������� ����� ����� u1 , ��
                                                4

Страницы