Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

 
2
0
2
v, ,
6
Mm
x
tuxt xx
d
, (5)
ɝɞɟ – ɞɢɚɦɟɬɪ ɨɛɥɚɫɬɢ ,dP

2
00
2
5
v,
666
Ƚ
Mm mM
md Mxt
d
d
v, .M
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɮɭɧɤɰɢɹ
v,
x
t ɬɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ
,uxt ɧɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ
ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚ Ƚ. ɉɭɫɬɶ
v,
x
t ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
ɜ ɬɨɱɤɟ
,
x
t , ɬɨɝɞɚ ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ:
2
2
vv
0, 0
x
t
ww
dt
ww
,
ɨɬɤɭɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɜ ɬɨɱɤɟ
,
x
t ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ:
2
2
2
vv
0a
tx
ww
t
ww
. (6)
ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ,
2
222
22
vv
0
6
uMm Mm
aaa
txt d d
www
2
www
,
ɱɬɨ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɬ (6); ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɬɟɨɪɟɦɚ ɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɟ
ɞɨɤɚɡɚɧɚ.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɬɟɨɪɟɦɚ ɨ ɦɢɧɢɦɭɦɟ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɬɟɨɪɟɦɟ ɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɡɧɚɤɚ
,uxy
, ɬɨ ɬɟɨɪɟɦɚ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɞɨɤɚɡɚɧɚ.
I. ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ (1)–(3) ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨ.
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ , ɧɚɲɟɣ ɡɚɞɚɱɢ, ɬɨɝɞɚ
1
u
2
u
1
uu u
2
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
2
2
2
uu
a
tx
ww
ww
ɢ ɧɭɥɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
00
0, 0, 0.
tx xl
uu u
ɇɨ ɬɨɝɞɚ, ɜ ɫɢɥɭ
ɬɟɨɪɟɦɵ ɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɟ, ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
0u
, ɬ. ɟ. .
12
uu
2. ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɣ ɫɦɟɲɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ (1)–(3) ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ
ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɪɚɡɧɨɫɬɶ
ɮɭɧɤɰɢɣ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɹ, ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ
ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ
H
, ɬɨ ɪɚɡɧɨɫɬɶ
1
uu u
2
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɪɟɲɟɧɢɣ ɤɚɤ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɫ ɦɚɥɵɦɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɬɚɤɠɟ
ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬɶ
H
ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ.
6
                                                      M �m
                          v � x, t � � u � x, t � �         � x � x0 � ,
                                                                      2
                                                          2
                                                                                        (5)
                                                       6d
��� d – ������� ������� P ,
                            M � m 2 5m M
                  v� � m�          d �   �   � M , v � x0 , t0 � � M .
                             6d 2      6   6
      �������������, ������� v � x, t � ��� ��, ��� � u � x, t � �� ���������
���������� �������� �� �. ����� v � x, t � ��������� ���������� ��������
� ����� � x, t � , ����� � ���� �����:
                              �2 v        �v
                                     � 0,    � 0,
                              �x 2        �t
������ �������, ��� � ����� � x, t � ������ ����:
                                      �v     �2 v
                                         � a2 2 � 0 .                                   (6)
                                      �t     �x
� ������ �������,
              �v      � 2 v �u          M �m         M �m
                 � a2 2 �          � a2     2
                                              � �a 2      �0 ,
              �t      �x        �t       6d           d2
��� ������������ (6); ����� �������, ������� � ��������� � ��������
��������.
     ��� ��� ������� � �������� �������� � ������� � ���������
���������� ����� u � x, y � , �� ������� ��������� ��������.
     I. ���������. ������� ������ ������ (1)–(3) �����������.
�����������, ��� �� ����� ��� ������� u1 , u2 ����� ������, �����
u � u1 � u2 ������������� ����������� ���������
                                        �u     �2 u
                                           � a2 2
                                        �t     �x
� ������� ��������        u          � 0, u � 0,           u          � 0. �� �����, � ����
                              t �0          x �0               x �l

������� � ��������� � ��������, �������, ��� u � 0 , �. �. u1 � u2 .
       2. ���������. ������� ������ ��������� ������ (1)–(3) ����������
������� �� ��������� � ��������� �������. �������������, ���� ��������
�������, �������� � ��������� � ��������� �������, �� ����������
�������� �� ����������� ���������� �������������� ����� � , �� ��������
u � u1 � u2 ��������������� ������� ��� ������� ����������� ���������
���������������� � ������ ���������� � ���������� ���������� �����
�� ����� ������������ � �� ���������� ��������.




                                            6

Страницы