Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

III. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɣ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
Ⱦɥɹ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ
>
@
:0 ,0QxltTdd dd ɩɟɪɜɭɸ ɤɪɚɟɜɭɸ ɡɚɞɚɱɭ
ɦɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤ: ɧɚɣɬɢ

2,1
,
,
xt
uxt CQ C Q ɢ
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɜ Q ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ:
2
2
2
,
uu
af
tx
ww
xt
ww
, (1)
ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ

0
,0
t
ux xl
M
dd (2)
ɢ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ


12
0
,,0
xxl
utut tT
P
P
dd . (3)
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ
12
,, , ,
f
xt x x x
M
PP
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵ ɢ
12
0,l 0
M
PM P
.
ɂɡɭɱɟɧɢɟ ɨɛɳɟɣ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ (1)–(3) ɧɚɱɧɟɦ ɫ ɪɟɲɟɧɢɹ
ɩɪɨɫɬɟɣɲɟɣ ɡɚɞɚɱɢ
/
: ɧɚɣɬɢ ɜ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
2
2
2
,
uu
a
tx
ww
ww
(4)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ

0
,0
t
uxxl
M
dd ( 5 )
ɢ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ

0
0, 0, 0
xxl
uu t
T dd , (6)
ɝɞɟ
x
M
ɢɦɟɟɬ ɤɭɫɨɱɧɨ-ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɭɸ ɩɟɪɜɭɸ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɢ ɨɛɪɚɳɚɟɬɫɹ
ɜ ɧɭɥɶ ɩɪɢ
0
x
ɢ
x
l .
Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ
/
ɞɥɹ
ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Q ɦɟɬɨɞɨɦ Ɏɭɪɶɟ
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɱɚɫɬɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
2
2
2
u
a
tx
uww
ww
ɜ ɜɢɞɟ
,uxt TtX x . (7)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (7) ɜ (4), ɢɦɟɟɦ
/2//
XxT t aTtX x
ɢɥɢ,



// //
2
Tt X x
aT t X x
O
,
ɨɬɤɭɞɚ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɞɜɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ ɫɢɥɭ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɥɟɜɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɬ
ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ t , ɚ ɩɪɚɜɨɟ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ
x
7
III. ������� ������ ������� ������ ��� ��������� ����������������

      ��� �������������� Q : �0 � x � l , 0 � t � T � ������ ������� ������
�����      ��������������          ���:    �����                    � �
                                                      u � x, t � � C Q � C x2,1,t � Q �    �
��������������� � Q ��������� ����������������:
                                �u        � 2u
                                     � a 2 2 � f � x, t � ,                               (1)
                                 �t       �x
���������� �������
                            u t �0 � � � x � , � 0 � x � l �                              (2)
� ������� ��������
                   u x �0 � �1 � t � , u x �l � �2 � t � , � 0 � t � T � .                (3)
��� ���� ��������������, ��� ������� f � x, t � , � � x � , �1 � x � , �2 � x �
���������� �
                    � � 0 � � �1 , � � l � � �2 � 0 � .
     �������� ����� ������� ������ (1)–(3) ������ � �������
���������� ������ I / : ����� � �������������� ������� �����������
���������
                                   �u         � 2u
                                       � a2 2 ,                    (4)
                                   �t         �x
��������������� ���������� �������
                           u t �0 � � � x � , � 0 � x � l �       (5)
� ���������� ������� ��������
                        u x �0 � 0 , u x �l � 0 , � 0 � t � T � ,  (6)
��� � � x � ����� �������-����������� ������ ����������� � ����������
� ���� ��� x � 0 � x � l .
      ������� ������������� ������� ������� ������ I / ���
�������������� Q ������� �����
                                                                 �u       � 2u
      ����� ������ ������� ������� ���������                         � a 2 2 � ����
                                                                 �t       �x
                                    u � x, t � � T � t � X � x � .                  (7)
���������� (7) � (4), �����
                           X � x � T / � t � � a 2T � t � X // � x �
���,
                              T // � t � X // � x �
                                          �             � �� ,
                             a 2T � t �       X � x�
������ �������� ��� ��������� � ���� ����, ��� ����� ��������� �������
������ �� t , � ������ ������ �� x
                                           7

Страницы