Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɬɨ ɪɹɞ (15) ɫ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ , ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɦɢ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ (16),
ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɤ
n
a
x
M
, ɱɬɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɢɡ ɬɟɨɪɢɢ
ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɪɹɞɨɜ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɪɢ t
0t
2
01
na
t
l
e
S
§·
¨¸
©¹
d,
ɬɨ ɪɹɞ (14) ɩɪɢ 0ɬɚɤɠɟ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɢ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ. ɉɨɷɬɨɦɭ
ɮɭɧɤɰɢɹ
t t
,uxt, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɚɹ ɪɹɞɨɦ (14), ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ
0,0
x
ltdd t ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɹɦ.
Ɉɫɬɚɟɬɫɹ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
,uxt ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (4) ɜ
ɨɛɥɚɫɬɢ 0,
0
x
ltdd t. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɪɹɞɵ,
ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɢɡ (14) ɩɨɱɥɟɧɧɵɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɟɦ ɩɨ ɨɞɢɧ ɪɚɡ ɢ
ɩɨɱɥɟɧɧɵɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɟɦ ɩɨ
t
x
ɞɜɚ ɪɚɡɚ, ɬɚɤɠɟ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɢ
ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ 0,
0
x
lt
d
dt. Ⱥ ɷɬɨ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ
ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɥɸɛɨɦ
0
0ttt!
22
222 22
22
01,0
na na
tt
ll
na n
ee
ll
SS
SS
§· §·

¨¸ ¨¸
©¹ ©¹
1 ,
ɟɫɥɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɟɥɢɤɨ.
n
ɋɨɜɟɪɲɟɧɧɨ ɬɚɤ ɠɟ ɦɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɭ ɮɭɧɤɰɢɢ
,uxt ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ
x
ɢ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ
.
t
0
0,xlttdd t!0
ȿɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ
/
I
ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɬ
ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
x
M
ɛɵɥɚ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɚ ɤɚɤ ɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɨ
ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɟ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɚɞɚɱɚ
/
I
ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɚ ɤɨɪɪɟɤɬɧɨ
ɞɥɹ .
0
0ttt!
Ɂɚɞɚɱɚ
//
I
. ɇɚɣɬɢ ɜ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
Q
2
2
2
,
uu
af
tx
ww
xt
ww
, (17)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ

0
0; 0
t
u
xl dd (18)
ɢ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ

0
0; 0; 0
xxl
uu t
T dd . (19)
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
,
xt ɢɦɟɟɬ
ɤɭɫɨɱɧɨ-ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɭɸ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ
x
ɢ ɱɬɨ ɩɪɢ ɜɫɟɯ
ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɹ
0
t !
0, , 0ftflt .
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ
,uxt ɡɚɞɚɱɢ
//
I
ɜ ɜɢɞɟ ɪɹɞɚ Ɏɭɪɶɟ
9
�� ��� (15) � �������������� an , ������������� �� �������� (16),
���������� � ��������� �������� � � � x � , ��� �������� �� ������
������������������ �����. ��� ��� ��� t � 0
                                                     2
                                             � n� a �
                                            ��      � t
                              0�e        � 1,� l �

�� ��� (14) ��� t � 0 ����� �������� ��������� � ����������. �������
������� u � x, t � , ������������ ����� (14), ���������� � �������
0 � x � l , t � 0 � ������������� ���������� � ���������� ��������.
�������� ��������, ��� ������� u � x, t � ������������� ��������� (4) �
������� 0 � x � l , t � 0 . ��� ����� ���������� ��������, ��� ����,
���������� �� (14) ��������� ������������������ �� t ���� ��� �
��������� ������������������ �� x ��� ����, ����� ��������� �
���������� �������� � ������� 0 � x � l , t � 0 . � ��� ���������
����������� ������� �� ����, ��� ��� ����� t � t0 � 0
                                        2                            2
                             � n� a �                     � n� a �
                      n 2� 2 a 2 ��� l �� t           n 2� 2 ��� l �� t
                  0�            e           � 1 , 0 �       e           � 1,
                         l2                             l2
���� n ���������� ������.
         ���������� ��� �� ����� �������� ������������� � �������
u � x, t � ����������� ����������� ������ ������� �� x � t � �������
0 � x � l , t � t0 � 0 .
         �������������� ������� ������ I / � ����������� ����������� ��
��������� ������� � � x � ���� ����������� ��� ��������� ������� �
��������� � ��������. ����� �������, ������ I / ���������� ���������
��� t � t0 � 0 .
     ������ I // .   ����� � �������������� Q ������� �������������
���������
                             �u         � 2u
                                   � a 2 2 � f � x, t � ,                (17)
                             �t         �x
��������������� ���������� �������
                              u t �0 � 0; � 0 � x � l �                  (18)
� ���������� ������� ��������
                      u x �0 � 0; u x�l � 0; � 0 � t � T � .             (19)
      ��� ���� ��������������, ��� ����������� ������� f � x, t � �����
�������-����������� ����������� ������� ������� �� x � ��� ��� ����
t � 0 ����������� ������� f � 0, t � � f � l , t � � 0 .
      ����� ������ ������� u � x, t � ������ I // � ���� ���� �����


                                                9

Страницы