Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 10 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 


1
, ( ) sin
n
n
nx
uxt Tt
l
S
f
¦
(20)
ɩɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɮɭɧɤɰɢɹɦ ɡɚɞɚɱɢ (9). Ɋɚɡɥɚɝɚɹ ɮɭɧɤɰɢɸ
,
f
xt ɜɪɹɞ
Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɧɭɫɚɦ, ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ

1
, ( ) sin
n
n
nx
fxt ft
l
S
f
¦
, (21)
ɝɞɟ

0
2
() , sin
l
n
nx
f
tfxt
ll
S
³
dx . (22)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɪɹɞ (20) ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (17), ɩɪɢɧɢɦɚɹ ɜɨ ɜɧɢɦɚɧɢɟ (21),
ɩɨɥɭɱɚɟɦ
2
/
1
() () () sin 0
nnn
n
an n x
Tt Tt ft
ll
SS
f
ªº
§·

«»
¨¸
©¹
¬¼
¦
.
Ɉɬɫɸɞɚ
2
/
() () (), 1,2,3,...
nnn
na
Tt Tt ft n
l
S
§·
¨¸
©¹
. (23)
ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɞɥɹ
,uxt

1
,0 (0) sin 0
n
n
nx
ux T
l
S
f
¦
,
ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɞɥɹ ():
n
Tt
(0) 0, 1,2,3, ...
n
Tn .
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (23) ɩɪɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦ ɭɫɥɨɜɢɢ (24) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ



2
0
na
t
t
l
n
Tt e f d
S
W
n
WW
§·

¨¸
©¹
³
. (25)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ (25) ɞɥɹ ()ɜɪɹɞ (20), ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
n
Tt
//
I
ɜ ɜɢɞɟ



2
1
1
0
,s
na
t
l
n
n
nx
uxt e f d
l
S
W
in
S
WW
§·
f

¨¸
©¹
ªº
«»
«»
¬¼
¦
³
.
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ. ȿɫɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵ, ɬɨ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ (26)
ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɢɛɚɜɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɫ
ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ
,0ux x
M
ɢ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ
ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ
0,ut.
ȼɟɪɧɟɦɫɹ ɬɟɩɟɪɶ ɤ ɨɛɳɟɣ ɩɟɪɜɨɣ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɟ (1)–(3). ȼɜɟɞɟɦ
ɧɨɜɭɸ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ
,
x
t
X
, ɩɨɥɨɠɢɜ
,,uxt xt xt,
XZ
,
10
                                                   �
                                                                 n� x
                                u � x, t � � � Tn (t ) sin                            (20)
                                                   n �1             l
�� ����������� �������� ������ (9). �������� ������� f � x, t � � ���
����� �� �������, ����� �����
                                                   �
                                                                    n� x
                                     f � x, t � � � f n (t ) sin            ,         (21)
                                                  n �1                  l
���
                                                l
                                              2                    n� x
                                  f n (t ) � � f � x, t � sin             dx .        (22)
                                              l 0                     l
���������� ��� (20) � ��������� (17), �������� �� �������� (21),
��������
                � �                          2
                                                                 �
                                  � an� �                                 n� x
               �    �
               n �1 �
                     T n
                        /
                          ( t ) � �
                                  � l �
                                            � Tn (t ) � f n (t ) � sin
                                                                           l
                                                                               � 0.
                                                                 �
������
                                           2
                                � n� a �
                   Tn/ (t ) � �           � Tn (t ) � f n (t ) , � n � 1, 2 ,3,...� . (23)
                                � l �
��������� ��������� �������� ��� u � x, t �
                                         �
                                                                     n� x
                           u � x,0 � � � Tn (0) sin                       �0 ,
                                        n �1                          l
�������� ��������� ������� ��� Tn (t ) :
                       Tn (0) � 0 , � n � 1, 2 ,3, ...� .
������� ��������� (23) ��� ��������� ������� (24) ����� ���
                                                                 2
                                               t        � n� a �
                                                       ��      � � t �� �
                                Tn � t � � � e          � l �
                                                                            f n �� � d� .   (25)
                                               0
���������� ��������� (25) ��� Tn (t ) � ��� (20), �������� ������� ������
I // � ����
                                 � � 1 �� n� a � � t �� �             �
                                                 2
                                         �     �                            n� x
                   u � x, t � � � � � e  � l �
                                                          f n �� � d� � sin      .
                                n �1 � 0                              ��     l
                                     �
        ���������. ���� ��������� ������� �����������, �� � ������� (26)
������� ��������� ������� ����������� ��������� ���������������� �
�������� ��������� �������� u � x,0 � � � � x � � ����������� ����������
��������� u � 0, t � .
     �������� ������ � ����� ������ ������� ������ (1)–(3). ������
����� ����������� ������� � � x, t � , �������
                              u � x, t � � � � x, t � � � � x, t � ,
                                                    10