Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 8 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

/2
0Tt aTt
O
,
//
0Xx Xx
O
. (8)
ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ
,uxt ɜɢɞɚ (7),
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (6), ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ
ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (8), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɤɪɚɟɜɵɦ
ɭɫɥɨɜɢɹɦ
00,XXl 0.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɦɵ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ
ɡɚɞɚɱɟ ɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ:
()Xx

//
() (), 0 0, 0Xx Xx X Xl
O
, (9)
ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɧɵɯ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ,
ɝɞɟ ɛɵɥɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
O
, ɪɚɜɧɵɯ
2
n
n
l
S
O
§
¨
©¹
·
¸
, ɝɞɟ
1,2,3,...n
, (10)
ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ (9):
( ) sin
n
nx
Xx
l
S
. (11)
Ɂɧɚɱɟɧɢɹɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
n
OO
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (7):
2
()
na
t
l
nn
Tt ae
S
§·
¨¸
©¹
, (12)
ɝɞɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ.
n
a
ɂɬɚɤ, ɜɫɟ ɮɭɧɤɰɢɢ

2
,()() sin
na
t
l
nnnn
nx
uxt TtXx ae
l
S
S
§·
¨¸
©¹
(13)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (4) ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (6).
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɪɹɞ

2
1
,
na
t
l
n
n
nx
uxt ae
l
S
sin
S
§·
f
¨¸
©¹
¦
. (14)
Ɍɪɟɛɭɹ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹ (5), ɩɨɥɭɱɚɟɦ

1
,0 ( ) sin
n
n
nx
ux x a
l
S
M
f
¦
. ( 15)
ɇɚɩɢɫɚɧɧɵɣ ɪɹɞ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
x
M
ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɧɭɫɚɦ ɜ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ
0,1 . Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ
n
a

1
0
2
sin
n
nx
ax
ll
S
M
³
dx . (16)
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɦɵ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɥɢ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
x
M
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ, ɢɦɟɟɬ ɤɭɫɨɱɧɨ-
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɭɸ ɩɟɪɜɭɸ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɢ ɨɛɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜ ɧɭɥɶ ɩɪɢ 0
x
ɢ
x
l ,
8
                                 T / � t � � a 2 �T � t � � 0 ,
                                  X // � x � � � X � x � � 0 .                   (8)
      ����� �������� ������������� ������� u � x, t � ���� (7),
���������������        �������            ��������          (6),   ���������� �����
������������� ������� ��������� (8), ��������������� �������
�������� X � 0 � � 0 , X � l � � 0 .
      ����� �������, ��� ����������� ������� X ( x ) �� �������� �
������ � ����������� ���������:
                        X // ( x ) � � X ( x ) , X � 0 � � 0 , X � l � � 0 ,     (9)
������������� � ������ � ��������� ������������ ���������� ������,
��� ���� ��������, ��� ������ ��� �������� ��������� � , ������
                                          2
                                  � n� �
                         �n � � � , ��� � n � 1, 2 ,3,...� ,                    (10)
                                  � l �
���������� ������������� ������� ������ (9):
                                                        n� x
                                        X n ( x ) � sin      .                  (11)
                                                         l
��������� ��������� � � �n ������������� ������� ��������� (7):
                                                               2
                                                       � n� a �
                                                      ��      � t
                             Tn (t ) � an e            � l �
                                                                    ,                   (12)
��� an – ������������ ����������.
      ����, ��� �������
                                                                             2
                                                                     � n� a �
                                                   n� x             ��      � t
                        un � x, t � � Tn (t ) X n ( x ) � an e       � l �
                                                                                  sin   (13)
                                                      l
������������� ��������� (4) � ��������� �������� (6).
     �������� ���
                                                               2
                                                       � n� a �
                                             �        ��   n� x
                                                              � t
                               u � x , t � � � an e    � l �
                                                                 .  sin
                                                                    (14)
                                      n �1                   l
        ������ ���������� ���������� ������� (5), ��������
                                                �
                                                          n� x
                         u � x,0 � � � ( x ) � � an sin         .  ( 15)
                                               n �1         l
        ���������� ��� ������������ ����� ���������� �������� �������
� � x � � ��� ����� �� ������� � ���������� � 0 ,1� . ������������ an
������������ �� ��������� �������
                                     1
                                   2                n� x
                             an � � � � x � sin          dx .       (16)
                                   l 0               l
��� ��� �� ������������, ��� ������� � � x � ����������, ����� �������-
����������� ������ ����������� � ���������� � ���� ��� x � 0 � x � l ,
                                                 8