Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɝɞɟ
 
121
,()
x
xt t t t
l
ZPPP
ªº
¬¼
.
Ɏɭɧɤɰɢɹ
,
x
t
X
ɛɭɞɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶɫɹ ɤɚɤ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
2
2
2
,af
tx
XX
ww
xt
ww
, (27)
ɝɞɟ
  
,, ,
f
xt f xt xt
t
Z
w
w
ɫ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ
,0 ,0
x
xx
XMZ
(28)
ɢ ɤɪɚɟɜɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ
0, 0, 0, 0tut t
XZ
,
,,,lt ult lt 0
XZ
. (29)
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (1)–(3) ɫɜɟɞɟɧɨ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ (27)–(29),
ɤɨɬɨɪɚɹ ɧɚɦɢ ɪɟɲɟɧɚ ɜɵɲɟ.
IV. ɉɪɢɦɟɪ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɦɟɲɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɩɚɪɚɛɨɥɢɱɟɫɤɨɝɨ ɬɢɩɚ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

2
2
1, 0 1, 0
uu
tx x t
tx
ww
!
ww
(1)
ɩɪɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦ ɭɫɥɨɜɢɢ
0
0
t
u
(2)
ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ
2
0
,
xxl
utu
2
t . (3)
Ɋɟɲɟɧɢɟ.
Ɏɭɧɤɰɢɹ
2
x
t
Z
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (3),
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
2
2
2
x
t
tx
ZZ
ww
ww
ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ
0
0
t
Z
.
ɉɨɷɬɨɦɭ ɮɭɧɤɰɢɹ
2
uxt
X
(4)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
2
2
1
t
tx
XX
ww
ww
(5)
ɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
0
0
0, 0, 0.
tx
x
x
X
X
w
l
X
w
(6)
11
���
                                                    x
                       � � x, t � � �1 (t ) � �� �2 � t � � �1 � t � �� .
                                                    l
      ������� � � x, t � ����� ������������ ��� ������� ���������
                                     ��      � 2�
                                        � a 2 2 � f � x, t � ,              (27)
                                     �t      �x
���
                                                         ��
                             f � x, t � � f � x, t � �      � x, t �
                                                         �t
� ��������� ��������
                                   � � x,0 � � � � x � � � � x,0 �          (28)
� �������� ���������
                          � � 0, t � � u � 0, t � � � � 0, t � � 0 ,
                            � �l, t � � u �l , t � � � �l, t � � 0 .
                                                                   (29)
     ����� �������, ������� ������ (1)–(3) ������� � ������� (27)–(29),
������� ���� ������ ����.

IV. ������ ������� ��������� ������ ��� ������������� ���������
                     ��������������� ����

      ���������� ���������
                     �u � 2 u
                       �      � t � x � 1� , 0 � x � 1, t � 0                (1)
                     �t �x 2
��� ��������� �������
                                       u t �0 � 0                            (2)
� ��������� ��������
                               u x �0 � t 2 , u x �l � t 2 .                 (3)
      �������. ������� � � xt ������������� ������� ��������
                                          2
                                                                            (3),
           �� � 2�
���������     �     � 2xt � ���������� ������� � t �0 � 0 .
           � t �x 2
      ������� �������
                                       � � u � xt 2                          (4)
������������� ���������
                           ��       � 2�
                                  �        � �1 � x � t                      (5)
                            �t      �x2
� ��������
                                        ��
                          � t �0 � 0 ,          �0 ,    � x �l � 0 .         (6)
                                        �x x �0

                                              11

Страницы