Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2
2
2
u
a
tx
uww
ww
(1)
ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ

0
,
t
ux x
M
ff ,
ɝɞɟ
x
M
- ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
2. ȿɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ. Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ
ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ, ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ, ɱɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɨ ɜɨ ɜɫɟɣ
ɨɛɥɚɫɬɢ, ɬ. ɟ. ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɟ ɱɢɫɥɨ
(,)
uxt
M
, ɱɬɨ (,)uxt M ɞɥɹ ɜɫɟɯ
x
f f ɢ ɥɸɛɨɦ t .0t
ɉɭɫɬɶ ɢ – ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1),
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɨɞɧɨɦɭ ɢ ɬɨɦɭ ɠɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ (2). Ɍɨɝɞɚ
ɪɚɡɧɨɫɬɶ
1
(,)uxt
2
(,)uxt
12
,(,)(,)
x
tuxtuxt
Z
, ɛɭɞɟɬ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (1) ɢ
ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ
0
0
t
Z
.
Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ
x
M
ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɚ ɜɨ ɜɫɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ
12
,,,2
x
tuxtuxt M
Z
dd .
Ɍɟɨɪɟɦɭ ɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɟ ɞɥɹ ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ
ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɩɪɢɦɟɧɢɬɶ ɧɟɥɶɡɹ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɹ
,
x
t
Z
ɦɨɠɟɬ ɧɢɝɞɟ
ɧɟ ɞɨɫɬɢɝɚɬɶ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ. ɑɬɨɛɵ
ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɷɬɨɣ ɬɟɨɪɟɦɨɣ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɤɨɧɟɱɧɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ
,0
x
LtTddd . ( 3)
ȼɨɡɶɦɟɦ ɮɭɧɤɰɢɸ

2
2
2
4
,
2
Mx
ta
L
X
§·
¨¸
©¹
t
,
ɤɨɬɨɪɚɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ (1). Ʌɟɝɤɨ
ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ
 
,0 ,0 0,
,2 ,
xx
.
L
tM Lt
XZ
XZ
t
rttr
ɉɪɢɦɟɧɹɹ ɬɟɨɪɟɦɭ ɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɟ ɤ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɦɟɠɞɭ
ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ
,
x
t
X
ɢ
,
x
t
Z
r ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ (3) , ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ
,,0,,,xt xt xt xt 0,
XZ XZ
t t
ɨɬɤɭɞɚ
,,,
x
txtxt
XZX
d d
ɢɥɢ
 
2
2
2
4
,,
2
Mx
x
txt a
L
ZX
§·
d
¨¸
©¹
t
.
13
                                        �u     � 2u
                                           � a2 2                                (1)
                                        �t     �x
� ���������� �������
                          u t �0 � � � x � ,   � �� � x � � �   ,
��� � � x � - ����������� � ������������ �������.
      2. �������������� �������. ������� �������������� �������
������ ����, �����������, ��� ������� u( x, t ) ���������� �� ����
�������, �. �. ���������� ����� ����� M , ��� u( x, t ) � M ��� ����
�� � x � � � ����� t � 0 .
      ����� u1 ( x, t ) � u2 ( x, t ) – ��� ������� ��������� (1),
��������������� ������ � ���� �� ���������� ������� (2). �����
�������� � � x, t � � u1 ( x, t ) � u2 ( x, t ) , ����� ������������� ��������� (1) �
���������� ������� � t �0 � 0 .
      ����� ���� � � x � ���������� �� ���� �������
                       � � x, t � � u1 � x, t � � u2 � x, t � � 2 M .
     ������� � ��������� � �������� ��� �������������� �������
��������������� ��������� ������, ��� ��� ������� � � x, t � ����� �����
�� ��������� ����������� � ����������� ��������. �����
��������������� ���� �������� ���������� �������� �������
                                x � L , 0�t �T .                     ( 3)
     ������� �������
                                     4M � x2        �
                         � � x, t � � 2 � � a 2 t � ,
                                      L � 2         �
������� �������� �������� ��������� ���������������� (1). �����
������, ���
                        � � x,0 � � � � x,0 � � 0 ,
                           � � �L , t � � 2M � � � �L , t � .
     �������� ������� � ��������� � �������� � �������� �����
��������� � � x, t � � �� � x, t � � ������� (3) , ����� �����
                  � � x, t � � � � x, t � � 0 , � � x, t � � � � x, t � � 0 ,
������
                              �� � x, t � � � � x, t � � � � x, t �
���
                                                  4M � x2              �
                        � � x, t � � � � x, t � � 2 � � a 2 t � .
                                                    L � 2              �


                                               13

Страницы