Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 15 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

 
 
1
cos
2
1
cos cos sin sin .
2
xd xd
x
dx d
MOM[O[[
S
d
O M[ O[[ O M[ O[[ O
S
ff
f f
ff f
f f f
ªº
«»
¬¼
³³
³³ ³
Ɇɵ ɜɢɞɢɦ, ɱɬɨ ɦɨɠɧɨ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɢɬɶ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ (7), ɩɨɥɨɠɢɜ
 


1
cos ,
2
1
sin .
2
A
d
B
d
OM[O[[
S
OM[O[[
S
f
f
f
f
³
³
(8)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (8) ɜ (6), ɩɨɥɭɱɚɟɦ
 

22
22
0
1
,cos
2
1
cos .
at
at
uxt e d xd
ed xd
O
O
OM[ O[ [
S
OM[ O[ [
S
ff
f f
ff
f
³³
³³
Ɇɟɧɹɹ ɩɨɪɹɞɨɤ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɩɨɥɶɡɭɹɫɶ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
2
22
2
4
0
cos
2
a
a
ed
a
e
E
O
S
EO O
f
³
,
ɥɟɝɤɨ ɧɚɯɨɞɢɦ


2
2
4
1
,
2
x
at
uxt e d
at
[
M
H
S
f
f
³
[
. (9)
ɇɟɬɪɭɞɧɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ


2
2
4
1
,,
2
x
at
Fxt e
at
[
[
S
, (10)
ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɚɹ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɬ
,
x
t , ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1).
Ɏɭɧɤɰɢɸ (10) ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚɥɶɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ (1).
Ⱦɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
M
ɮɭɧɤɰɢɹ (9) ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ (1). Ⱦɥɹ
ɷɬɨɝɨ ɧɚɦ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥ (9), ɚ ɬɚɤɠɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ,
ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɟɝɨ ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɟɦ ɩɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ
ɩɨ
x
ɢ ɫɤɨɥɶɤɨ ɭɝɨɞɧɨ ɪɚɡ, ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɥɸɛɨɦ
ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ
t
>
@
0
11,
x
ttTd d d d , ɝɞɟ . Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ,
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɹ (9) ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡ ɩɨ
0
0t !
x
ɢ , ɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɫɭɦɦɭ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ, ɢ ɧɭɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɤɚɠɞɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɫɯɨɞɢɬɫɹ.
t
15
                                �            �
                        1
         � � x� �               � d � � � �� � cos � �� � x � d� �
                       2�   ��             ��

              1
                  �
                       �                 �                                              �
                                                                                                                     �
         �
             2�   � ��cos � x � � �� � cos �� d� � sin � x � � �� � sin �� d� ��d �.
                  ��                    ��                                              ��



�� �����, ��� ����� ������������� ��������� (7), �������
                                 �
                               1
                      A�� � �    � � �� � cos �� d � ,
                              2� ��
                                                                    �
                                                                                                                         (8)
                                         1
                             B �� � �        � � �� � sin �� d � .
                                       2� ��
     ���������� (8) � (6), ��������
                               �              �
                           1
             u � x, t � �      � e� a � t d � � � �� � cos � �� � x � d � �
                                     2 2


                          2� ��              ��
                            �                         �
                       1
                                                 d � � � �� � cos � �� � x � d � .
                       ��
                                    � a 2 � 2t
                  �       e
                            0                        ��
     ����� ������� �������������� � ��������� ��������
                                           �                                                �2
                                                                                �       �

                                           �e
                                                  � a 2� 2
                                                             cos �� d � �           e       4 a2
                                                                                                      ,
                                           0
                                                                              2a
����� �������
                                                               �                                 � � � x �2
                                                                              1              �
                                           u � x, t � �        � � � � � 2a             e          4 a 2t
                                                                                                              d� .       (9)
                                                               ��                 �t
     �������� ������, ��� �������
                                                                                                � � � x �2
                                                                            1               �
                                                     F � x, t , � � �
                                                      ,              (10)              e         4 a 2t
                                        2a � t
��������������� ��� ������� �� � x, t � , �������� �������� ��������� (1).
������� (10) �������� ��������������� �������� ���������
���������������� (1).
        �������, ��� ��� ����� ����������� � ������������ �������
� � x � ������� (9) ������������� ��������� ���������������� (1). ���
����� ��� ���������� ��������, ��� �������� (9), � ����� ���������,
���������� ��� ���������� ������������������ ��� ������ ���������
�� x � t ������� ������ ���, ���������� �������� � �����
�������������� � �1 � x � 1 , t0 � t � T � , ��� t0 � 0 . �������������,
������������� (9) ��������� ��� �� x � t , �� �������� �����
����������, � ����� ��������, ��� ������ �������� ���������� ��������.
                                                                    15