Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 16 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

ɉɨɫɥɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɜɵɞɟɥɹɟɬɫɹ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ
x
[
ɜ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ, ɢ
ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɦɨɠɧɨ ɜɵɧɟɫɬɢ ɢɡ ɩɨɞ ɡɧɚɤɚ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɭɦɦɭ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɜɢɞɚ
t


2
2
4
1
x
m
at
k
I
xe d
t
[
M
[[ [
f
f
³
. (11)
ɉɪɨɢɡɜɨɞɹ ɡɚɦɟɧɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
,0
2
x
t
at
[
D
!
,
ɩɪɟɨɛɪɚɡɭɟɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ (11) ɤ ɜɢɞɭ


2
1
1
2
22
m
k
m
ma
I
at xated
M
DD
f
f
³
D
.
Ɉɬɫɸɞɚ ɥɟɝɤɨ ɭɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɷɬɨɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ
, ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɦɚɠɨɪɢɪɭɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ
0
0ttt!
2
m
a
Me
D
,
ɤɨɬɨɪɚɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɚ ɜ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ
,f f , ɝɞɟ

2
x
at M
MD
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɮɭɧɤɰɢɹ
,uxt, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɚɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (9),
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ ɢ ɢɦɟɟɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ
x
ɢ ɩɪɢ 0. Ɍɚɤ
ɤɚɤ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
tt!

2
2
4
1
2
x
at
e
at
[
S
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (1)
ɩɪɢ 0, ɬɨ ɨɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ
t !
,uxt ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɷɬɨɦɭ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɩɪɢ .
0t !
Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɬɟɩɟɪɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ (9) ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ
ɭɫɥɨɜɢɸ (2), ɬ. ɟ.

0
lim ,
t
uxt x
M
o
ɩɪɢ ɥɸɛɨɦ
x
ɢɡ
,f f . ȼɜɟɞɟɦ ɜɦɟɫɬɨ
[
ɧɨɜɭɸ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ
D
ɩɨ
ɮɨɪɦɭɥɟ
,0
2
x
t
at
.
[
D
!
Ɍɨɝɞɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥ (9) ɩɪɢɦɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɜɢɞ


2
1
,2
a
uxt x a te d
M
D
S
f
f
³
D
. (12)
Ɉɬɫɸɞɚ ɥɟɝɤɨ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ
,uxt ɩɪɢ
x
f f ɢ 0t , ɟɫɥɢ!
x
M
M
ɞɥɹ ɜɫɟɯ
x
. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ,
16
����� ����������������� ��� ������ ��������� ���������� ���������
� � x � ������������� �������, ������� �������� ��� ������ ���������, �
��������� t � ��������� �������, ������� ����� ������� �� ��� �����
���������. ����� ������� �� ������� ����� ���������� ����
                                            �                                      � � � x �2
                             1               m �
                       I � k � � �� ��� � x � e                                     4 a 2t
                                                                                                d� .                    (11)
                            t ��
     ��������� ������ ����������
                                 ��x
                             ��       , t � 0,
                                 2a t
����������� �������� (11) � ����
                                         m�1    �

                                                  � � � x � 2a� t ��
                                             �k
                  I � � 2a �
                               m�1                                                     m � a2
                                     t    2
                                                                                         e          d� .
                                                  ��
       ������ ����� �������, ��� ���� �������� ���������� �������� ���
t � t0 � 0 , ��� ��� ��������������� ������� ������������ ��������
                                                         m            2
                                                M � e� a ,
������� ������������ � ���������� � ��, � � , ��� � x � 2a� t � M .                             �           �
     ����� �������, ������� u � x, t � , ������������ �������� (9),
���������� � ����� ����������� ������ ������� �� x � t ��� t � 0 . ���
                                                                      � � � x �2
                                                    1             �
��� ��������������� �������                                  �e
                                                     ������������� ��������� (1)
                                                                           2
                                               4a t
                                2a � t
��� t � 0 , �� ������ �������, ��� � ������� u � x, t � ������������� �����
��������� ��� t � 0 .
      ������� ������, ��� ������� (9) ������������� ����������
������� (2), �. �.
                             lim u � x, t � � � � x �
                                          t ��0

��� ����� x ��       � ��, � � .         ������ ������ � ����� ���������� � ��
�������
                                    ��x
                                         ��
                                          , t � 0.
                                    2a t
      ����� �������� (9) ������ ��������� ���
                                       �
                                    1
                       u � x, t � �    � � x � 2a� t e d� .
                                                   �
                                                      � a2
                                                              �                           �                             (12)
                                                        ��

      ������ ����� �������� �������������� �������                                                         u � x, t �   ���
�� � x � � � t � 0 , ���� � � x � � M ��� ���� x . �������������,


                                                        16