Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Ɏɢɤɫɢɪɭɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ

00
,
x
t ɢ ɜɵɛɢɪɚɹ
L
ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ
ɛɨɥɶɲɢɦ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ

00
,xt
ZH
,
ɨɬɤɭɞɚ ɜɜɢɞɭ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɫɬɢ
H
ɢ ɬɨɱɤɢ

00
,
x
t ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
,0xt
Z
{ ,
ɬ. ɟ..
12
(,) (,)uxt uxt
3. ɋɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ. ɇɚɣɞɟɦ ɫɧɚɱɚɥɚ ɱɚɫɬɧɵɟ
ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1) ɜɢɞɚ
,()(uxt TtXx) . (4)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (4) ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (1) ɢ ɪɚɡɞɟɥɹɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ
///
2
2
() ( )
() ( )
Tt X x
aT t X x
O
,
ɝɞɟ
2
O
– ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ. Ɉɬɫɸɞɚ
/22 // 2
() () 0, ( ) ( ) 0Tt a Tt X x Xx
OO
.
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɷɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢ ɩɨɥɚɝɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɣ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ ɜ
ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ ()
Tt ɪɚɜɧɵɦ ɟɞɢɧɢɰɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ
22
() , ( ) cos sin
at
Tt e X x A x B x
O
O
O
,
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ
A
ɢ
B
ɦɨɝɭɬ ɡɚɜɢɫɟɬɶ ɨɬ
O
. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ, ɬɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪ
O
ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɦ.
ɋɨɝɥɚɫɧɨ (4) ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ
 
22
,cos
at
uxt e A xB x
O
O
sin
OO OO
ªº
¬¼
(5)
ɟɫɬɶ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1) ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ
A
ɢ
B
O
. ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ
(5) ɩɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ
O
, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɬɚɤɠɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1)
 
22
,cos
at
uxt e A x B xdx
O
OO OO
f
f
sin
ªº
¬¼
³
, (6)
ɟɫɥɢ ɷɬɨɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɢ ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɬɶ
ɩɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɞɢɧ ɪɚɡ ɩɨ
t ɢ ɞɜɚɠɞɵ ɩɨ
x
.
ȼɵɛɟɪɟɦ ɮɭɧɤɰɢɢ
A
O
ɢ
B
O
ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɢ
ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ (2). ɉɨɥɚɝɚɹ ɜ (6)
0
t , ɩɨɥɭɱɢɦ ɜ ɫɢɥɭ (2)
 
-
cos sin
x
AxBxd
M
OO OO
f
f
O
ªº
¬¼
³
. (7)
ɋɪɚɜɧɢɜɚɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɫ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ Ɏɭɪɶɟ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
x
M
, ɢɦɟɟɦ
14
     �������� ��������� �������� � x0 , t0 � � ������� L ����������
�������, ��������
                          � � x0 , t0 � � � ,
������ ����� �������������� � � ����� � x0 , t0 � �������, ��� � � x, t � � 0 ,
�. �. u1 ( x, t ) � u2 ( x, t ) .
       3. ������������� ������� ������ ����. ������ ������� �������
������� ��������� (1) ����
                                               u � x , t � � T (t ) X ( x ) .          (4)
���������� (4) � ��������� (1) � �������� ����������, ��������
                                          T / (t )      X // ( x )
                                                   �               � �� 2 ,
                                         a 2T (t )       X ( x)
��� � 2 – ����������. ������
                         T / (t ) � a 2 � 2T (t ) � 0 , X // ( x ) � � 2 X ( x ) � 0 .
       ���������� ��� ��������� � ������� ���������� ��������� �
��������� T (t ) ������ �������, ��������
                               2 2
                T (t ) � e � a � t ,     X ( x ) � A cos � x � B sin � x ,
���������� A � B ����� �������� �� � . ��� ��� ��������� �������
�����������, �� �������� � �������� ������������.
     �������� (4) �������, ���
                   u� � x, t � � e� a � t �� A � � � cos � x � B � � � sin � x ��
                                     2 2
                                                                                  (5)
���� ������� ������� ��������� (1) ��� ����� A � � � � B � � � . ����������
(5) �� ��������� � , �������� ����� ������� ��������� (1)
                                      �

                       u � x, t � �   �e
                                           � a 2 � 2t
                                                        �� A � � � cos � x � B � � � sin � x ��dx ,   (6)
                                      ��
���� ���� �������� ���������� �������� � ��� ����� ����������������
��� ������ ��������� ���� ��� �� t � ������ �� x .
      ������� ������� A � � � � B � � � ���, ����� ����������� �
��������� ������� (2). ������� � (6) t � 0 , ������� � ���� (2)
                                      �

                         � � x� �     � �� A � � � cos � x � B � � � sin � x ��d �         .          (7)
                                      -�
       ��������� �������� � ������ ����� � ���������� ����� ��� �������
� � x � , �����




                                                        14

Страницы