Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɉɪɢɦɟɧɹɹ ɦɟɬɨɞ ɪɚɡɞɟɥɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
2
2
0
tx
XX
ww
ww
ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɹɯ (6), ɩɨɥɨɠɢɦ
XxTt
X
,
ɩɨɥɭɱɢɦ ɡɚɞɚɱɭ ɒɬɭɪɦɚ–Ʌɢɭɜɢɥɥɹ
// 2 /
() () 0, (0) 0, () 0Xx Xx X Xl
O
,
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɱɢɫɥɚ
2
n
n
S
OS
,
, ɚ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ – ɮɭɧɤɰɢɢ
0,1,2, ...
n
() cos
n
Xx x
n
O
. (7)
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (5), (6) ɢɳɟɦ ɜ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ

0
,()cos
n
n
n
x
tTt x
XO
f
¦
. (8)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ
,
x
t
X
ɢɡ (8) ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (5), ɩɨɥɭɱɚɟɦ
 

/2
0
cos 1
nnn n
n
Tt Tt x x
OO
f
¦
t . (9)
Ɋɚɡɥɨɠɢɦ ɮɭɧɤɰɢɸ 1
x
ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɮɭɧɤɰɢɣ (7) ɧɚ
ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ
0,1 :
0
1co
n
n
s
n
x
ax
O
f
¦
. (10)
Ɍɚɤ ɤɚɤ

1
2
0
2
21 cos
nn
n
axxdx
O
O
³
,
ɬɨ ɢɡ (9) ɢ (10) ɧɚɯɨɞɢɦ
/2
2
2
() ()
nn
n
t
Tt Tt
O
O
. (11)
Ɋɟɲɟɧɢɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (11) ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (0) 0
n
T ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
2
62
() 2 1
n
t
nn n
Tt e t
O
OO
. (12)
ɂɡ (4), (8) ɢ (12) ɧɚɯɨɞɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (1)–(3):

2
26 2
0
21
n
t
nn
n
uxt e t x
O
OOO
f
¦
2
cos ,
n
ɝɞɟ
2
n
n
S
OS
.
V. Ɂɚɞɚɱɚ Ʉɨɲɢ
1. ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ.
ɇɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ (,)uxt
0,tx!ff, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
12
     �������� ����� ���������� ���������� ��� ������� �����������
           �� � 2�
���������      �         � 0 ��� �������� (6), ������� � � X � x � T � t � ,
            �t � x 2
������� ������ ������–��������
                X // ( x ) � � 2 X ( x ) � 0 , X / (0) � 0 , X (l ) � 0 ,
                                                                                                         �
������������          ����������              �������              ��������               �����   �n �       ��n     ,
                                                                                                         2
n � 0 ,1, 2 , ... , � ������������ ��������� – �������
                                    X n ( x ) � cos �n x .                                                         (7)
       ������� ������ (5), (6) ���� � ����� ����
                                                             �
                                          � � x, t � � � Tn (t ) cos �n x .                                        (8)
                                                            n �0

      ���������� � � x, t � �� (8) � ��������� (5), ��������
                              �

                             � �T � t � � � T � t � � cos � x � �1 � x � t .
                             n �0
                                     n
                                      /               2
                                                      n n                  n                                       (9)

     �������� ������� 1 � x � ��� ����� �� ������� ������� (7) ��
��������� � 0 ,1� :
                                                             �
                                              1 � x � � an cos �n x .                                          (10)
                                                            n �0
��� ���
                                          1
                                                                                 2
                             an � 2 � �1 � x � cos �n xdx �                           ,
                                          0
                                                                                �n2
�� �� (9) � (10) �������
                                                                           2t
                                              Tn/ (t ) � �n2T (t ) �              .                            (11)
                                                                           �n2
�������� ��������� (11) ��� ������� Tn (0) � 0 �������� �������

                                                                   �   2
                                    Tn ( t ) � 2 � n� 6 e � � n t � � n2 t � 1 .             �                 (12)
�� (4), (8) � (12) ������� ������� ������ (1)–(3):

                                                  �                         �
                                      �
                       u � xt 2 � 2� �n�6 e� �n t � �n2t � 1 cos �n2 x ,
                                                        2


                                     n �0
           �
��� �n �       ��n.
           2

                                          V. ������ ����

        1.    ����������         ������  ����.    �����    ������� u( x, t )
� t � 0 , � � � x � � � , ��������������� ��������� ����������������
                                                       12

Страницы