Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 18 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 


2
21
,,
33
a
uxt x e d
HH
M
D
S
f
f
d
³
ɬ. ɟ., ɜ ɫɢɥɭ (13), ɦɵ ɢɦɟɟɦ
,uxt x
M
H
dɩɪɢ ɜɫɟɯ , ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ
ɛɥɢɡɤɢɯ ɤ ɧɭɥɸ, ɢ ɩɪɢ ɜɫɟɯ
t
x
, ɨɬɤɭɞɚ ɜ ɜɢɞɭ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɫɬɢ
0
H
!
ɢ
ɫɥɟɞɭɟɬ

0
lim ,
t
uxt x
M
o
,
ɱɬɨ ɢ ɬɪɟɛɨɜɚɥɨɫɶ ɞɨɤɚɡɚɬɶ.
4. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ
ɮɭɧɤɰɢɢ.
ɉɭɫɬɶ
,uxtɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ
ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ (2) ɢ

,uxtɪɟɲɟɧɢɟ ɬɨɝɨ ɠɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ

0t
u
M
x . (18)
Ɍɨɝɞɚ, ɟɫɥɢ
xx
M
M

H
ɞɥɹ ɜɫɟɯ
x
ɢɡ
,f f , ɬɨ
,,uxt uxt
H
ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ
x
ɢ 0. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɪɟɲɟɧɢɹ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (2)
ɢ (18) , ɜɵɪɚɠɚɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (9). ȼɡɹɜ ɢɯ ɪɚɡɧɨɫɬɶ, ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ
t !
   

2
2
4
1
,,
2
x
at
uxt uxt e d
at
[
M
[M[
S
f
f
ªº
¬¼
³
[
,
ɨɬɤɭɞɚ
 

2
2
4
,,
2
x
at
uxt uxt e d
at
[
H
.
S
f
f
d
³
ɉɨɥɚɝɚɹ
2
x
at
[
D
, ɩɨɥɭɱɚɟɦ
 
2
1
,,
a
uxt uxt e d ,
HDH
S
f
f
d
³
ɱɬɨ ɢ ɬɪɟɛɨɜɚɥɨɫɶ ɞɨɤɚɡɚɬɶ.
ɂɡ ɮɨɪɦɭɥɵ (9) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɬɟɩɥɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɹɟɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɫɬɟɪɠɧɹ
ɧɟ ɫ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɤɨɧɟɱɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ, ɚ ɦɝɧɨɜɟɧɧɨ. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɩɭɫɬɶ
ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ
x
M
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚ ɞɥɹ ɜɫɟɯ
x
DE
dd ɢ ɪɚɜɧɚ
ɧɭɥɸ ɜɧɟ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ. Ɍɨɝɞɚ ɞɥɹ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪ ɩɨɥɭɱɚɟɦ


2
2
4
1
,,
2
x
at
uxt e d
at
[
E
D
M
[[
S
³
18
                                                                               �
                                                       2� � 1
                              u � x, t � � � � x � �     �                     �e
                                                                                        � a2
                                                                                               d� ,
                                                        3 3 �                 ��

�. �., � ���� (13), �� ����� u � x, t � � � � x � � � ��� ���� t , ����������
������� � ����, � ��� ���� x , ������ � ���� �������������� � � 0 �
�������
                           lim u � x, t � � � � x � ,
                                              t ��0
��� � ����������� ��������.

     4. ����������� ����������� ������� ������ ���� �� ���������
�������. ����� u � x, t � – ������� ��������� (1), ���������������
���������� ������� (2) � u � x, t � – ������� ���� �� ���������,
��������������� ���������� �������
                              u t �0 � � � x � .            (18)
        �����,       ����        � � x� � � � x� � �               ���        ����                x         ��       � �� , � � ,   ��
u � x, t � � u � x, t � � �    ��� �����               x � t � 0 . �������������, �������
��������� (1), ��������������� �������������� ��������� �������� (2)
� (18) , ���������� �������� (9). ���� �� ��������, ����� �����
                                              �                                                       � x �� �2
                                                                        1      �
                  u � x, t � � u � x, t � �   ��� ��� �� � � � �� ��� 2a � t e                         4 a 2t
                                                                                                                  d� ,

������
                                                                         �           � x �� �2
                                                               �                 �
                              u � x, t � � u � x, t � �                  �   e        4 a 2t
                                                                                                 d� .
                                                          2a � t        ��
                  ��x
������� � �            , ��������
                  2a t
                                                                    �
                                                               1
                              u � x, t � � u � x, t � � �           �e
                                                                             � a2
                                                                                     d� � � ,
                                                               �    ��
��� � ����������� ��������.
      �� ������� (9) �������, ��� ����� ���������������� ����� �������
�� � �����-���� �������� ���������, � ���������. �������������, �����
��������� ����������� � � x � ������������ ��� ���� � � x � � � �����
���� ��� ����� �������. ����� ��� ������������ �������������
���������� ��������
                                               �                             � � � x �2
                                                               1         �
                                u � x, t � � � � �� �                e        4 a 2t
                                                                                          d� ,
                                               �          2a � t


                                                          18