Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 19 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

ɨɬɤɭɞɚ ɹɫɧɨ, ɱɬɨ
,uxt! 00. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɤɚɤ ɛɵ ɧɢ ɛɵɥɨ ɦɚɥɨ ɢ
ɤɚɤ ɛɵ ɧɢ ɛɵɥɚ ɞɚɥɟɤɚ ɬɨɱɤɚ
t !
x
ɨɬ ɨɬɪɟɡɤɚ
>
@
,
D
E
, ɬɟɩɥɨ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɡɚ
ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ ɭɫɩɟɜɚɟɬ ɞɨɣɬɢ ɞɨ ɬɨɱɤɢt
x
. ɗɬɨ ɢ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ
ɬɟɩɥɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɹɟɬɫɹ ɫ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ.
Ɉɬɦɟɬɢɦ ɟɳɟ ɨɞɧɨ ɜɚɠɧɨɟ ɨɛɫɬɨɹɬɟɥɶɫɬɜɨ. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (1), (2)
(ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ) ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɫɤɨɥɶ ɭɝɨɞɧɨ
ɪɚɡ ɩɨ
x
ɢɩɨ ɜɧɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɛɭɞɟɬ ɥɢ ɢɦɟɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ
ɮɭɧɤɰɢɹ
t
x
M
ɢɥɢ ɧɟɬ. ɗɬɚ ɝɥɚɞɤɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɨɬɥɢɱɚɟɬ
ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɨɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ.
Ɏɢɡɢɱɟɫɤɢɣ ɫɦɵɫɥ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ (10) ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ (1).
ȼɵɞɟɥɢɦ ɦɚɥɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɫɬɟɪɠɧɹ

00
,
x
hx h
ɨɤɨɥɨ ɬɨɱɤɢ
0
ɢ
ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
x
M
, ɞɚɸɳɚɹ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ, ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ ɜɧɟ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ

00
,
x
hx hɢ ɢɦɟɟɬ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɧɭɬɪɢ ɧɟɝɨ. Ɏɢɡɢɱɟɫɤɢ ɷɬɨ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ
ɬɚɤ: ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɦɵ ɫɨɨɛɳɢɥɢ ɷɬɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ
ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɚ
0
U
0
2QhcU
U
, ɤɨɬɨɪɨɟ ɜɵɡɜɚɥɨ ɩɨɜɵɲɟɧɢɟ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ
ɧɚ ɜ ɷɬɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɫɬɟɪɠɧɹ. ȼ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɪɟɦɟɧɢ
ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɜ ɫɬɟɪɠɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (9), ɤɨɬɨɪɚɹ
ɜ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ
0
U

 
22
0 0
22
0 0
44
0
11
,
2
22
xx
xh xh
at at
xh xh
Q
uxt U ed ed
h
at cat
[[
[
[
SUS




³³
.
ȿɫɥɢ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɭɦɟɧɶɲɚɬɶ ɞɨ ɧɭɥɹ, ɬ. ɟ. ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɬɨ ɠɟ
ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɧɚ ɜɫɟ ɦɟɧɶɲɟɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɢ ɜ ɩɪɟɞɟɥɟ
ɫɨɨɛɳɚɟɬɫɹ ɫɬɟɪɠɧɸ ɜ ɬɨɱɤɟ
h
Q
0
x
x , ɬɨ ɦɵ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɩɨɧɹɬɢɸ
ɦɝɧɨɜɟɧɧɨɝɨ ɬɨɱɟɱɧɨɝɨ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ ɬɟɩɥɚ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɹ Q, ɩɨɦɟɳɟɧɧɨɝɨ ɜ
ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
0t ɜ ɬɨɱɤɭ
0
x
x . Ɍɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɜ ɫɬɟɪɠɧɟ ɩɪɢ ɞɟɣɫɬɜɢɢ
ɬɚɤɨɝɨ ɦɝɧɨɜɟɧɧɨɝɨ ɬɨɱɟɱɧɨɝɨ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ ɬɟɩɥɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ
ɮɨɪɦɭɥɟ

2
0
2
0
4
0
1
lim
2
2
x
xh
at
h
xh
Q
ed
h
ca t
[
[
US
o
³
. (19)
ɉɪɢɦɟɧɹɹ ɬɟɨɪɟɦɭ ɨ ɫɪɟɞɧɟɦ, ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ
 
22
0
22
0
44
1
2
x
x
xh
at at
xh
ede
h
[[
[


³
,
ɝɞɟ
000
x
hxh
[
 , ɢ ɬɚɤ ɤɚɤ
00
x
[
o ɩɪɢ , ɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ (19)
ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɜɢɞ
0h o
19
������ ����, ��� u � x, t � � 0 . ����� �������, ��� �� �� ���� ���� t � 0 �
��� �� �� ���� ������ ����� x �� ������� �� , � � , ����� �� ����� ������� ��
���������� ������� t �������� ����� �� ����� x . ��� � ��������, ���
����� ���������������� � ����������� ���������.
      ������� ��� ���� ������ ��������������. ������� ������ (1), (2)
(������ ����) ���� �������, ���������� ���������������� ����� ������
��� �� x � �� t ��� ����������� �� ����, ����� �� ����� �����������
������� � � x � ��� ���. ��� ��������� ������� ����������� ��������
���������� ��������� ����������������, ��������, �� ���������
��������� ������.
      ���������� ����� ���������������� ������� (10) �����������
��������� ���������������� (1).
      ������� ����� ������� ������� � x0 � h , x0 � h � ����� ����� x0 �
����� �������, ��� ������� � � x � , ������ ��������� �������������
�����������, ����� ���� ��� ���������� � x0 � h , x0 � h � � �����
���������� �������� U 0 ������ ����. ��������� ��� ����� �����������
���: � ��������� ������ ������� �� �������� ����� ��������
���������� ����� Q � 2hc �U 0 , ������� ������� ��������� �����������
�� U 0 � ���� ������� �������. � ����������� ������� �������
������������� ����������� � ������� ������������ �������� (9), �������
� ����� ������ ��������� ���
                     x0 � h                        � � � x �2                                              x �h   � � � x �2
                                    1          �                          Q      1 0 �
      u � x, t � �    �U                                             c � 2a � t 2h x0��h
                              0            e        4 a 2t
                                                                d� �                     e                         4 a 2t
                                                                                                                               d� .
                     x0 � h       2a � t
      ���� �� ����� ��������� h �� ����, �. �. ����� �������, ��� �� ��
���������� ����� Q �������������� �� ��� ������� ������� � � �������
���������� ������� � ����� x � x0 , �� �� �������� � �������
����������� ��������� ��������� ����� ���������� Q , ����������� �
������ ������� t � 0 � ����� x � x0 . ����������� � ������� ��� ��������
������ ����������� ��������� ��������� ����� �������������� ��
�������
                                                                               x �h        � � � x �2
                                               Q       1 0 �
                                     h �0 c � 2 a � t 2 h �
                                     lim                        e                            4 a 2t
                                                                                                        d� .                          (19)
                                                         x0 � h

      �������� ������� � �������, ����� �����
                                               x �h             � � � x �2                � � � x �2
                                         1 0 �                                        �

                                        2h x0��h
                                                 e               4 a 2t
                                                                             d� � e        4 a 2t
                                                                                                       ,

��� x0 � h � �0 � x0 � h , � ��� ��� �0 � x0 ��� h � 0 , �� ��������� (19)
��������� ��������� ���
                                                                       19