Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 21 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 



2
2
4
1
2
x
at
de
t
[
M[ [
S
.
Ɉɛɳɟɟ ɠɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ
M
[
ɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɤɚɯ
ɫɬɟɪɠɧɹ ɫɭɦɦɢɪɭɟɬɫɹ ɢɡ ɷɬɢɯ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɱɬɨ ɢ ɞɚɟɬ ɧɚɦ
ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜɵɲɟ ɪɟɲɟɧɢɟ (9)


2
2
4
1
,
2
x
at
uxt d e d
t
[
M
[[
S
f
f
³
[
.
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɜ
ɬɪɟɯɦɟɪɧɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
222
2
222
.
uuu
a
txyz
§
w www

¨
wwww
©¹
u
·
¸
(21)
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (21), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ
0
,,
t
uxy
z
M
, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ



222
2
4
3
1
,,, ,,
2
xyz
at
uxyzt e ddd
at
[K]
M
[K] [ K ]
S

fff
f f f
³³³
.
VI. ɉɪɢɦɟɪ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ
ɇɚɣɬɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
2
2
0, 25
uu
x
t
tx
ww
ww
, (1)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ
,0ux x .
Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɂɳɟɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
,uxt ɜ ɜɢɞɟ
,,uxt Pxt Qxt,,ɝɞɟ ɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱ:PQ
 
22
22
0,25 0,25
;.
,0 ,0 0
PP Q
Qx
tx x
Px x Qx
ww w
°°
ww w
®®
°°
¯
¯
t
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ ɮɭɧɤɰɢɢ
,Pxt ɢ
,Qxt, ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ


2
1
,
zx
t
Pxt ze dz
t
S
f
f
³
, (2)



2
0
1
,exp
t
zx
Qxt d z dz
t
t
WW
W
SW
f
f
§·
¨
¨
©¹
³³
¸
¸
. (3)
Ⱦɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
zx
t
Q
ɜ (2 ) ɢ
zx
t
Q
W
ɜ (3). Ɍɨɝɞɚ
21
                                                                             � � � x �2
                                                              1          �
                                    e 4a t .� �� � d �
                                                                                     2


                               2 �t
     ����� �� �������� �� ��������� ����������� � �� � �� ���� ������
������� ����������� �� ���� ��������� ���������, ��� � ���� ���
���������� ���� ������� (9)
                                               �                                             � � � x �2
                                                                         1               �
                                u � x, t � �   � � �� � d � 2                        e           4 a 2t
                                                                                                          d� .
                                               ��                        �t
        ���������� ��������������� ��������� ���������������� �
���������� ������������
                                     �u 2 � � 2 u � 2 u � 2 u �
                                        a        �     �        . (21)
                                      �t �� �x 2 �y 2 �z 2 ��
        ������� ��������� (21), ��������������� ���������� �������
u t �0 � � � x, y , z � , ������������ ��������
                             � � �                                                       �� � x �2 ��� � y �2 ��� � z �2
                                                                1                    �
      u � x, y , z , t � �   � � � � � � ,� , � �                                e                        4 a 2t
                                                                                                                            d � d� d � .
                                                         � 2a            �
                                                                             3
                             �� �� ��                               �t

                              VI. ������ ������� ������ ����

      ����� ������� ���������
                            �u        � 2u
                               � 0, 25 2 � xt ,                                                                                             (1)
                            �t        �x
��������������� ���������� ������� u � x,0 � � x .
      �������.                ����              �������                      ������                                u � x, t �     �        ����
u � x, t � � P � x, t � � Q � x, t � , ��� P � Q – ������� �����:
                             � �P           �2P               �           � 2Q
                             �     � 0, 25 2                  �Q � 0, 25 2 � xt
                             � �t           �x ;              �           �x    .
                             � P � x,0 � � x                  �Q � x,0 � � 0
                             �                                �
      �������� �������� ������� P � x, t � � Q � x, t � , ����� ���
                                                                  �                  � z � x �2
                                                          1                      �
                                        P � x, t � �              � z�e                      t
                                                                                                    dz ,                                    (2)
                                                          �t      ��
                                        t    � � z � x �2 �
                                               �
                                                                1
                       Q � x, t � � � d�
                          � � � t � � � �� � t � � �� dz .
                                         exp        z�                                                                                      (3)
                       0  ��                 �            �
                         z�x                  z�x
������ ������ ����������      � � � (2 ) � �        � � � (3). �����
                            t                  t ��
                                                           21