Уравнения параболического типа. Малютина О.П. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1
S
u
k
n
w
w
u
. (I0)
3. ȿɫɥɢ ɧɚ S ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ ɇɶɸɬɨɧɚ, ɬɨ

0
S
u
kHuu
n
w
0
u
w
, (11)
ɝɞɟ
H
– ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧɚ ɢ
0
u – ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɨɤɪɭɠɚɸɳɟɣ
ɫɪɟɞɵ.
II. ɉɟɪɜɚɹ ɝɪɚɧɢɱɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɟ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɵɣ ɫɬɟɪɠɟɧɶ ɞɥɢɧɵ . Ⱦɥɹ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ
l
,0Pc x l t Td dd
ɩɟɪɜɚɹ ɤɪɚɟɜɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ
ɨɛɪɚɡɨɦ: ɧɚɣɬɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɭɸ ɜ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ
P ɮɭɧɤɰɢɸ
,uxt,
ɞɜɚɠɞɵ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɭɸ ɩɨ
x
ɢɨɞɢɧɪɚɡɩɨ ɜ ,
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɜ
tP
P ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ:
2
2
2
,
uu
af
tx
ww
ww
xt , (1)
ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ

0
,0
t
ux xl
D
dd (2)
ɢ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ
 
0
,,0
xxl
ututtT
E
J
dd . (3)
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ
,, , ,
f
xt x t t
D
EJ
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵ ɢ
00,al l
DE J
. (4)
Ɍɟɨɪɟɦɚ. Ɏɭɧɤɰɢɹ
,uxt, ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɜ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ P ɢ
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɚɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
2
2
2
uu
a
tx
ww
ww
ɜɧɭɬɪɢ , ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚ Ƚ: ɛɨɤɨɜɵɯ
ɫɬɨɪɨɧɚɯ ɢ ɧɢɠɧɟɦ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ , ɬ. ɟ. ɥɢɛɨ ɩɪɢ
P
P 0
x
,
ɥɢɛɨ ɩɪɢ
l , ɥɢɛɨ ɩɪɢ , ɥɢɛɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ.0t
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ M ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
ɮɭɧɤɰɢɢ
,uxt ɜ P , ɚ – ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɧɚ Ƚ.m
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɩɪɨɬɢɜɧɨɟ, ɬ. ɟ. ɱɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
,uxt,
ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ
Mm . ɉɭɫɬɶ ɷɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ M ɜ ɬɨɱɤɟ

00
,
x
y

00
,Muxy .
ȼɜɟɞɟɦ ɮɭɧɤɰɢɸ
5
                             �u
                                 �k� u1 .                           (I0)
                             �n S
     3. ���� �� S ���������� ���������� �������� ������ �������, ��
                          �u
                        k    � H � u � u0 � S � u0 ,               (11)
                          �n
��� H – ����������� ����������� � u0 – ����������� ����������
�����.

    II. ������ ��������� ������. ������� � ��������� � ��������

       ���������� ������������ �������� ����� l . ��� ��������������
P � c � x � l , 0 � t � T � ������ ������� ������ ������������� ���������
�������: ����� ����������� � �������������� P ������� u � x, t � ,
������ ���������� ���������������� �� x � ���� ��� �� t � P ,
��������������� � P ��������� ����������������:
                           �u         � 2u
                                 � a 2 2 � f � x, t � ,                  (1)
                           �t         �x
���������� �������
                          u t �0 � � � x � , � 0 � x � l �               (2)
� ������� ��������
                   u x �0 � � � t � , u x �l � � � t � , � 0 � t � T � . (3)
��� ���� ��������������, ��� �������               f � x, t � , � � x � , � � t � , � � t �
���������� �
                     � �0� � � �0� , a �l � � � �l � .                                (4)
       �������. ������� u � x, t � , ����������� � �������������� P �
                                                                �u      � 2u
��������������� ����������� ��������� ����������������             � a2 2
                                                                �t      �x
������ P , ��������� ���������� � ���������� �������� �� �: �������
�������� � ������ ��������� �������������� P , �. �. ���� ��� x � 0 ,
���� ��� x � l , ���� ��� t � 0 , ���� �������� ���������� ���������.
         ��������������. ��������� ����� M ���������� ��������
������� u � x, t � � P , � m – ���������� �� �.
         ����������� ���������, �. �. ��� ���������� ����� ������� u � x, t � ,
��� �������� M � m . ����� ��� ������� ��������� �������� M � �����
� x0 , y0 �
                                  M � u � x0 , y0 � .
         ������ �������
                                            5

Страницы