Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

˙
A
A
˙
v =
F
m
= −
αr
mr
3
,
˙
L = 0,
˙
r = v,
d
dt
µ
1
r
= −
³
r · v
r
3
´
,
˙
A = 0.
A
(A · r) = ([v × L] · r) − αr =
L
2
m
− αr;
A
Ar cos ϕ =
L
2
m
− αr.
r r =
L
2
/m
α + A cos ϕ
r =
p
1 + ε cos ϕ
, p =
L
2
mα
,
= εα
ε
v
2
= ˙r
2
+ r
2
˙ϕ
2
v
2
=
α
mp
(1 + ε
2
+ 2ε cos ϕ) =
α
mp
³
ε
2
− 1 + 2
p
r
´
.
r
p
r
a
a
r
a
= 2a
µ
T
T
2/3
− r
p
Ðåøåíèå . Îïðåäåëèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè Ȧ, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäíûå ïî
âðåìåíè âõîäÿùèõ â A ôóíêöèé:
                                                             µ ¶    ³r · v´
               F    αr                                     d 1
          v̇ =   = − 3,               L̇ = 0,   ṙ = v,          =−         ,
               m    mr                                     dt r       r3
òîãäà
                                              Ȧ = 0.
   Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåêòîðà A äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî îí ëåæèò â ïëîñêî-
ñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, è
                                                                L2
                     (A · r) = ([v × L] · r) − αr =                − αr;
                                                                m
Áóäåì îòñ÷èòûâàòü óãîë ïîâîðîòà ðàäèóñ-âåêòîðà îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà
A, òîãäà:
                                                     L2
                                      Ar cos ϕ =        − αr.
                                                     m
                                             L2 /m
Ðàçðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî r: r =             , è ñðàâíèâàÿ åãî ñ
                                           α + A cos ϕ
óðàâíåíèåì òðàåêòîðèè ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ:
                                        p                  L2
                                r=             ,        p=    ,
                                   1 + ε cos ϕ             mα
ïîëó÷èì àáñîëþòíîå çíà÷åíèå âåêòîðà À = εα, íàïðàâëåíèå æå åãî â äàííîì
ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì áîëüøîé îñè ýëëèïñà òðàåêòîðèè.

Çàäà÷à 4.8. Èçâåñòíû ïàðàìåòð ð è ýêñöåíòðèñèòåò ε îðáèòû òåëà, äâèæó-
ùåãîñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåìëè. Íàéòè ñêîðîñòü òåëà êàê ôóíêöèþ ðàññòîÿ-
íèÿ äî öåíòðà Çåìëè.
Óêàçàíèå : Èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè è âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà
      ñêîðîñòè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: v 2 = ṙ2 + r2 ϕ̇2 .
           2  α        2              α ³ 2    p´
Îòâåò :   v =    (1 + ε + 2ε cos ϕ) =    ε −1+2 .
              mp                      mp       r
Çàäà÷à 4.9.  ïîëå òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà äâèæåòñÿ êîìåòà ñ ïåðèîäîì îáðàùå-
íèÿ Òê . Â ïåðèãåëèè ðàññòîÿíèå îò Ñîëíöà äî êîìåòû ðàâíî rp . Íàéòè ðàñ-
ñòîÿíèå îò Ñîëíöà äî àôåëèÿ îðáèòû êîìåòû ra , çíàÿ ïåðèîä ÒÇ îáðàùåíèÿ
Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà è çíà÷åíèå áîëüøîé ïîëóîñè îðáèòû Çåìëè aÇ .
                     µ        ¶2/3
                         Tê
Îòâåò :   ra = 2aÇ                   − rp .
                         TÇ
                                                39

Страницы