Составители:
22
[
]
[][]
()
,
ˆˆˆˆˆˆ
,
ˆˆ
,
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
,
ˆ
222
yzzyyxyxyy
yyxyxyyxyxyyyxxyxy
LLLLiLLLLLL
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
+−=+=
=−+−=−=
!
[
]
[][]
()
.
ˆˆˆˆˆˆ
,
ˆˆ
,
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
,
ˆ
222
zyyzzxzxzz
zzxzxzzxzxzzzxxzxz
LLLLiLLLLLL
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
+=+=
=−+−=−=
!
Подставляя полученные выражения в (3.8), получаем
[
]
0
ˆ
,
ˆ
2
=
x
LL
то есть оператор
2
ˆ
L
коммутирует с оператором
x
L
ˆ
.
Аналогично доказывается коммутативность оператора
2
ˆ
L
с оператора-
ми
y
L
ˆ
и
z
L
ˆ
.
Вывод: квадрат момента импульса может быть одновременно точно измерен
только с одной из его проекций.
Задача 9.
Докажите, что оператор квадрата импульса
2
ˆ
p
коммутирует
с оператором квадрата момента импульса
2
ˆ
L
.
Решение. В сферической системе координат
.
ˆ
1
ˆ
,
22
,
2
222
ϕθ
ϕθ
∆−=
∆+∆−=∆−=
!
!!
L
r
p
r
Поэтому
[]
[][]
∆∆+∆∆=
ϕθϕθϕθ
,,
2
,
422
,
1
,
ˆ
,
ˆ
r
Lp
r
!
.
В этом выражении коммутатор
[]
∆∆ ∆ ∆
θϕ θϕ θϕ θϕ
,, , ,
,
=−=
22
0
.
Также равен нулю и коммутатор
[]
∆∆ ∆∆ ∆ ∆
rr r
,
,,,
θϕ θϕ θϕ
=−=
0
, так как опе-
раторы ∆
r
и ∆
θ
,
ϕ
содержат дифференциальные операции по разным перемен-
ным, и результат их последовательного действия на волновую функцию не
зависит от порядка их следования. Тем самым мы доказали, что
[
]
0
ˆ
,
ˆ
22
=
Lp
.
Равенство нулю этого коммутатора означает, что квадрат импульса и квадрат
момента импульса могут быть измерены одновременно точно.
[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ =
2
y x
2
y x x
2
y y y x y x y y x y x y y
= Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ = −i!(Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ),
y y x y x y y z z y
[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ =
2
z x
2
z x x
2
z z z x z x z z x z x z z
= Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ = i!(Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ).
z z x z x z z y y z
Подставляя полученные выражения в (3.8), получаем
[Lˆ , Lˆ ] = 0
2
x
то есть оператор L̂2 коммутирует с оператором L̂x .
Аналогично доказывается коммутативность оператора L̂2 с оператора-
ми L̂y и L̂z .
Вывод: квадрат момента импульса может быть одновременно точно измерен
только с одной из его проекций.
Задача 9. Докажите, что оператор квадрата импульса p̂ 2 коммутирует
с оператором квадрата момента импульса L̂2 .
Решение. В сферической системе координат
1
pˆ 2 = − ! 2 ∆ = − ! 2 ∆ r + 2 ∆θ ,ϕ
r
Lˆ = − ! ∆ .
2 2
θ ,ϕ
Поэтому
[pˆ , Lˆ ] = ! [∆ , ∆ ]+ r1 [∆
2 2 4
r θ ,ϕ 2 θ ,ϕ , ∆θ ,ϕ ] .
В этом выражении коммутатор ∆ θ,ϕ , ∆ θ,ϕ = ∆2θ,ϕ − ∆2θ,ϕ = 0 . [ ]
Также равен нулю и коммутатор ∆ r , ∆ θ,ϕ [ ]=∆ ∆ r θ ,ϕ − ∆ θ,ϕ ∆ r = 0 , так как опе-
раторы ∆r и ∆θ,ϕ содержат дифференциальные операции по разным перемен-
ным, и результат их последовательного действия на волновую функцию не
зависит от порядка их следования. Тем самым мы доказали, что [pˆ 2 , Lˆ2 ] = 0 .
Равенство нулю этого коммутатора означает, что квадрат импульса и квадрат
момента импульса могут быть измерены одновременно точно.
22
