Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20
мента импульса частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом со-
стоянии, будут реализовываться два значения
L
z
=+
h
и
L
z
=−
h
.
Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, кото -
рые определяются квадратами модулей коэффициентов C
1
и C
2
в разложении
волновой функции в ряд по собственным функциям оператора
2
ˆ
L
. Так как в
нашем случае
CC
1 2
1
2
==, то эти вероятности одинаковы и равны
()
P
+=
h
1
2
и
()
P
−=
h
1
2
Среднее значение результатов измерения L
z
при этом будет равно ну-
лю, так как
() ()()
LP P
z
=+ +−−= − =
hh h h h h
1
2
1
2
0.
Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле
(1.15). Действительно
ϕθ
∂ϕ
∂
sinsin
ˆ
AiiL
z
!!
=
Ψ
−=Ψ
.
Поэтому
() ()
{}
.d2sindsin
2
ddcossinsin
ddsin,
ˆ
,
2
00
3
2
2
00
32
2
00
*
∫∫∫∫
∫∫
==
=ΨΨ=
ππππ
ππ
ϕϕθθϕθϕϕθ
ϕθθϕθϕθ
Ai
Ai
LL
zx
!
!
Так как второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, то следова-
тельно и
L
z
= 0.
Задача 7.
Покажите, что операторы проекций момента импульса свя-
заны коммутационным соотношением
[
]
zyx
LiLL
ˆˆ
,
ˆ
!
=
. (3.7)
мента импульса частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом со-
стоянии, будут реализовываться два значения
                          L z = +h                   и                  L z = −h .
     Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, кото-
рые определяются квадратами модулей коэффициентов C1 и C2 в разложении
волновой функции в ряд по собственным функциям оператора L̂2 . Так как в
                                   1
нашем случае C1 = C 2 =               , то эти вероятности одинаковы и равны
                                    2
                                     1                                               1
                      P (+ h) =                     и                   P (− h) =
                                     2                                               2
     Среднее значение результатов измерения Lz при этом будет равно ну-
лю, так как
                                                     1   1
                      L z = P (+ h)h + P (− h)(− h) = h − h = 0.
                                                     2   2
Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле
(1.15). Действительно
                                                 ∂Ψ
                                    Lˆ z Ψ = −i!    = i!A sin θ sin ϕ .
                                                 ∂ϕ

Поэтому
                     2π    π
              Lx =   ∫ ∫ Ψ (θ ,ϕ ){Lˆ Ψ (θ ,ϕ )}sinθ dθ d ϕ =
                               *
                                           z
                     0     0
                     2π    π                                        π           2π
                                                              i!A2
              = i!A2 ∫     ∫ sin θ sinϕ cosϕ dθ d ϕ =
                                3
                                                                   ∫ sin 3 θ d θ ∫ sin 2ϕ d ϕ .
                     0     0
                                                                2 0              0


Так как второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, то следова-
тельно и L z = 0 .

     Задача 7. Покажите, что операторы проекций момента импульса свя-
заны коммутационным соотношением
                                         [Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .
                                           x   y         z                                        (3.7)


20

Страницы