Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 19 стр.

каясь от ее зависимости от радиальной переменной. Именно такой случай
рассматривается в данной задаче.
     Условие нормировки для волновой функции Ψ(θ,ϕ) имеет вид
                          2π   π

                          ∫ ∫ Ψ (θ, ϕ)Ψ(θ, ϕ) sin θ d θ d ϕ = 1 .
                               *

                          0    0

Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получим
                                        2π                  π

                                        ∫ cos       ϕ d ϕ ∫ sin 3 θ d θ = 1 .
                                    2           2
                                A
                                        0                   0

Поскольку
                 2π                                                  π
                                                                                         4
                  ∫ cos                                             ∫ sin
                          2                                                 3
                              ϕdϕ = π ,                         а               θd θ =     ,
                  0                                                  0
                                                                                         3

                                                                     3
то для константы A получаем значение A =                               .
                                                                    4π
     Используя формулу Эйлера, представим cosϕ в комплексной форме

                                         cosϕ =
                                                      2
                                                        (
                                                      1 iϕ
                                                        e + e− iϕ .  )
Тогда нормированную волновую функцию (3.6) можно представить в виде
разложения в ряд по собственным функциям (2.12) оператора L̂2 :
                  3        1          1     1   3            1   3
   Ψ(θ, ϕ) =         sin θ e iϕ + e − iϕ  =       sin θeiϕ +       sin θe − iϕ =
                 4π        2          2      2 8π             2 8π
     1                   1
   =    Y1, +1 (θ, ϕ) +     Y1, −1 (θ, ϕ).
      2                   2
     Поскольку в этом разложении присутствуют только собственные
функции оператора L̂2 , отвечающие значениям l=1, то с учетом (2.11) это оз-
начает, что результатом измерения квадрата момента импульса всегда будет
одно и то же значение L2 = 2h2 . Для модуля момента в результате измерения
получим L = 2h . Однако, два слагаемых в найденном разложении отлича-
ются значениями m=+1 и m=-1. Следовательно, при измерении проекции мо-
                                                                                               19