Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

17
() ()
{}
() () ()
.
2
de
2
d
2
exp
d4d4
ˆ
2
10
2
0
1
3
10
2
0
1
2
0
2
0
2
0
2*
r
e
r
r
e
r
r
r
A
e
rrrrFrrrrFrF
K
πε
ξ
πεε
ππ
ξ
=
=
−=
=ΨΨ=ΨΨ=
∫∫
∫∫
∞
−
∞
∞∞
б) Потенциальная энергия электрона в поле ядра
()
Ur
e
r
=−
2
0
4
πε
,
а оператор потенциальной энергии
U
ˆ
есть оператор умножения на функцию
U(r).
Поэтому
() ()
{}
() () ()
1
0
2
0
2
0
2*
4
d4d4
ˆ
I
e
rrrrUrrrrUrU
πε
ππ
−=ΨΨ=ΨΨ=
∫∫
∞∞
.
Здесь
IA
r
r
r
rr
r
r
r
1
2
1
0
2
1
3
1
2
0
1
1 2
4
4
2
1
=−
=
=
∞
−
∞
∫∫
exp d dπ
π
π
ξξ
ξ
e .
Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основ-
ном состоянии атома водорода равно
U
e
r
=−
2
0 1
4
πε
.
в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)
−
−=
Ψ
⋅⋅−=∆Ψ−=Ψ
1110
2
2
2
0
2
0
2
exp
12
2d
d
d
d1
22
ˆ
r
r
A
rrrmr
r
rrmm
E
K
!!!
.
Поэтому вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона по
формуле (1.15), получим
() ()
{}
.
2
d4
2
exp
2
d4
2
exp
1
d4
ˆ
2
2
10
2
1
10
2
0
2
1
2
2
10
2
0
2
1
2
10
2
0
2*
I
rm
I
rm
rr
r
r
A
rm
rr
r
r
r
A
rm
rrrErE
KK
!!!
!
−=
−−
−
−=ΨΨ=
∫
∫∫
∞
∞∞
π
ππ
                                             {           }
                                 ∞                                     ∞
                    F = ∫ Ψ (r ) FˆK Ψ (r ) 4πr 2 d r = ∫ Ψ (r )F (r )Ψ (r )4πr 2 d r =
                                     *

                                 0                                     0
                           2 ∞                                    ∞
                       e               2r         e  r1  −ξ  2
                                                                               e2
                       ε 0 ∫0                      πε 0 r13  2  ∫0
                   =          A 2
                                  exp  −
                                       r  d r =                 e d ξ =           .
                                       1                                   2πε 0 r12

б) Потенциальная энергия электрона в поле ядра
                                                                 e2
                                                     U (r ) = −        ,
                                                                4πε 0r

а оператор потенциальной энергии Û есть оператор умножения на функцию
U(r).
        Поэтому

                                     {           }
                       ∞                                     ∞
                                                                                                 e2
             U = ∫ Ψ * (r ) UˆΨ (r ) 4πr 2 d r = ∫ Ψ (r )U (r )Ψ (r )4πr 2 d r = −                    I1 .
                       0                                     0
                                                                                                4πε 0

Здесь
                       ∞                                                          2∞
                       1   2r            4π  r                                                    1
              I1 = ∫ A exp −  4πr 2 d r = 3  1 
                               2
                                                                                   ∫ ξe
                                                                                          −ξ
                                                                                               dξ =      .
                   0
                       r   r1            πr1  2                                0
                                                                                                      r1

Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основ-
ном состоянии атома водорода равно
                                                                e2
                                                         U =−         .
                                                              4πε 0r1
в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)
                      !2         !2 1 d  2 d Ψ   !2  2 1            r
          Eˆ K Ψ = −     ∆Ψ = −     ⋅ 2⋅  r    =        −  A exp −  .
                     2m0        2m0 r d r  d r  2m0 r1  r r1        r1 

Поэтому вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона по
формуле (1.15), получим

                                         {           }
                           ∞                                               ∞
                                                                      !2       1     2r 
              E K = ∫ Ψ * (r ) Eˆ K Ψ (r ) 4πr 2 d r =                     ∫ A2 exp − 4πr 2 d r −
                           0
                                                                     m0 r1 0   r     r1 
                         ∞
                  !    2
                                     2r                !2          !2
                 2m0 r12 ∫0
             −              A 2
                                exp  −
                                     r  4π r 2
                                                  d r =       I 1 −         I2.
                                     1                m0 r1       2m0 r12



                                                                                                             17

Страницы