Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16
где A - нормировочная константа, а r
1
- значение боровского радиуса. Найди-
те для этого состояния средние значения:
а) модуля кулоновской силы, действующей на электрон;
б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром;
в) кинетической энергии движущегося электрона.
Решение. Константу A найдем из условия нормировки волновой функ-
ции, которое в сферической системе координат запишется в виде
A
r
r
rr
2
1
2
0
2
4 1exp d−
=
∞
∫
π .
Отсюда
4
2
1
2
1
3
2
0
πξξ
ξ
A
r
=
−
∞
∫
e d.
Интегрируя по частям, находим
I ====
−
∞
−
∞
−
∞
∫∫∫
ξξξξ ξ
ξξξ
2
000
222eeeddd
и вычисляем нормировочную константу
A
r
=
⋅
1
1
3
π
.
а) В сферической системе координат модуль кулоновской силы зависит от
расстояния r электрона до ядра, причем
()
Fr
r
=
e
2
0
2
4
πε
.
Оператор модуля кулоновской силы
K
F
ˆ
есть оператор умножения на функ-
цию F(r).
Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле
(1.15):
где A - нормировочная константа, а r1 - значение боровского радиуса. Найди-
те для этого состояния средние значения:
а) модуля кулоновской силы, действующей на электрон;
б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром;
в) кинетической энергии движущегося электрона.
      Решение. Константу A найдем из условия нормировки волновой функ-
ции, которое в сферической системе координат запишется в виде
                                   ∞
                                            2r 
                                   ∫ exp − r1  4πr
                               2                                 2
                           A                                         d r = 1.
                                   0

Отсюда
                                                  3∞
                                       2  r1 
                                                   ∫ξ
                                                        2 −ξ
                            4πA                         e d ξ = 1.
                                 2               0

Интегрируя по частям, находим
                     ∞                        ∞                         ∞
                  I = ∫ ξ e d ξ = 2∫ ξe d ξ = 2∫ e− ξ d ξ = 2
                          2 −ξ                         −ξ

                      0                       0                         0

и вычисляем нормировочную константу
                                                        1
                                          A=                     .
                                                       π ⋅ r13

а) В сферической системе координат модуль кулоновской силы зависит от
расстояния r электрона до ядра, причем
                                                  e2
                                        F (r) =          .
                                                4πε 0r 2

Оператор модуля кулоновской силы F̂K есть оператор умножения на функ-
цию F(r).
      Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле
(1.15):


16

Страницы