Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14
() ()
Ixxx
1
1==
−∞
+∞
∫
ΨΨ
*
d.
Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функцией
координаты x, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞
до +∞. Поэтому этот интеграл равен нулю, то есть
() ()
IxxxxAx
x
a
x
2
2
2
2
2
0==−
=
−∞
+∞
−∞
+∞
∫∫
ΨΨ
*
dexpd.
Поэтому, окончательно, находим отличное от нуля среднее значение
проекции импульса частицы
pk
x
=
h
.
Задача 4.
Найдите среднее значение потенциальной энергии квантово-
го осциллятора с частотой ω
0
в первом возбужденном состоянии, описывае-
мом волновой функцией
()
Ψ xAx
mx
=−
⋅
exp
ω
0
2
2
h
, −∞ < < +∞x . (3.4)
Здесь A - некоторая нормировочная постоянная, а m - масса частицы.
Решение. Так как потенциальная энергия осциллятора
()
Ux
kx
mx
==
⋅
2
0
2
22
ω
,
то в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной энергии
осциллятора находим по формуле
() ()
{}
()() ()
.dexp
2
dd
ˆ
2
0
42
2
0
*
∫
∫∫
∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
⋅
−
⋅
=
=ΨΨ=ΨΨ=
x
xm
xA
m
xxxUxxxUxU
!
ωω
Интегрируя один раз по частям, получим
                                       +∞

                                         ∫ Ψ (x )Ψ(x ) d x = 1.
                                            *
                                I1 =
                                       −∞

Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функцией
координаты x, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞
до +∞. Поэтому этот интеграл равен нулю, то есть
                  +∞                                  +∞
                                                   2x 2 
             I 2 = ∫ x Ψ (x )Ψ(x ) d x = A ∫ x exp − 2  d x = 0 .
                          *                       2

                   −∞                      −∞      a 
     Поэтому, окончательно, находим отличное от нуля среднее значение
проекции импульса частицы
                                            px = k h.

     Задача 4. Найдите среднее значение потенциальной энергии квантово-
го осциллятора с частотой ω0 в первом возбужденном состоянии, описывае-
мом волновой функцией
                                m ⋅ ω 0x 2 
                 Ψ(x ) = Ax exp −           , −∞ < x < +∞ .                (3.4)
                                    2h 

Здесь A - некоторая нормировочная постоянная, а m - масса частицы.
     Решение. Так как потенциальная энергия осциллятора
                                          kx 2 m ⋅ ω 0 x 2
                                 U (x ) =     =            ,
                                           2       2
то в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной энергии
осциллятора находим по формуле

                                     {       }
                          +∞                          +∞
                   U = ∫ Ψ * (x ) UˆΨ (x ) d x = ∫ Ψ (x )U (x )Ψ (x )d x =
                          −∞                          −∞
                              2 +∞
                       m ⋅ω                  m ⋅ω0 x 2 
                  =            ∫             −         d x.
                              0     2 4
                                  A  x  exp
                         2     −∞               !       

Интегрируя один раз по частям, получим



14

Страницы