Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13
Согласно общим положениям квантовой механики, этот результат по-
казывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями
(3.2) при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенное
значение, равное соответствующему собственному значению оператора
2
ˆ
p
.
Поэтому при измерении p
2
всегда будет получаться одно и то же значение
p
n
a
2
222
2
=
π
h
.
Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата им-
пульса в серии измерений, то есть
p
a
n
2
22
2
2
=
π
h
.
Задача 3.
Частица в некоторый момент времени находится в состоя-
нии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет
вид
()
Ψ xA
x
a
ikx=−+
exp
2
2
, −∞ < < +∞x (3.3)
где A и a - некоторые постоянные, а k - заданный параметр, имеющий раз-
мерность обратной длины. Определите среднее значение проекции импульса
< p
x
> частицы в этом состоянии.
Решение. Так как для волновой функции (3.3)
()
xx
a
k
x
ip
x
Ψ
+=
Ψ
−=Ψ
2
2
ˆ
!
!!
∂
∂
то по правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем
() (){} ()()
() ()
.
2
d
2
dd
ˆ
2
2
1
*
2
**
I
a
Ikxxxx
a
xxxkxxpxp
xx
!
!
!
!
+=ΨΨ+
+ΨΨ=ΨΨ=
∫
∫∫
∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
Из условия нормировки волновой функции
      Согласно общим положениям квантовой механики, этот результат по-
казывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями
(3.2) при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенное
значение, равное соответствующему собственному значению оператора p̂ 2 .
Поэтому при измерении p2 всегда будет получаться одно и то же значение
                                            π 2 h2 n2
                                             2
                                        p =           .
                                                a2
Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата им-
пульса в серии измерений, то есть

                                             2    π 2 h2 2
                                        p        = 2 n .
                                                   a
      Задача 3. Частица в некоторый момент времени находится в состоя-
нии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет
вид
                               x2        
                 Ψ(x ) = A exp − 2 + ikx  , −∞ < x < +∞                        (3.3)
                               a         
где A и a - некоторые постоянные, а k - заданный параметр, имеющий раз-
мерность обратной длины. Определите среднее значение проекции импульса
< px > частицы в этом состоянии.
      Решение. Так как для волновой функции (3.3)
                                             ∂Ψ       2! 
                              pˆ x Ψ = −i!     =  k! + 2 x  Ψ (x )
                                             ∂x       a 

то по правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем
                           +∞                            +∞
                   px    = ∫ Ψ (x ){pˆ x Ψ (x )}d x = k! ∫ Ψ * (x )Ψ (x )d x +
                                 *

                           −∞                            −∞
                         +∞
                      2!                               2!
                  +    2 ∫
                           xΨ * (x )Ψ (x )d x = k!I 1 + 2 I 2 .
                      a −∞                             a

Из условия нормировки волновой функции

                                                                                         13

Страницы