Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12
так как частица движется вдоль оси x, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс
направлен то в одну, то в другую, противоположную сторону. Поэтому сред-
нее значение проекции импульса частицы на ось x оказывается равным нулю.
в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса < p
2
>. Посколь-
ку мы имеем дело с одномерным случаем, то из (2.3) следует, что
2
2
222
ˆˆ
x
pp
x
∂
∂
!
−==
Очевидно, что хотя среднее значение проекции импульса < p
x
> равно
нулю, среднее значение квадрата импульса < p
2
> у движущейся частицы
должно быть отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата им-
пульса будет получено в серии измерений? Согласно (1.5)
() ()
{}
.
2
2
dsin
2
dsinsin
2
d
ˆ
2
222
0
2
2
222
0
2
22
2*2
a
a
n
a
x
a
xn
a
n
a
x
a
xn
xa
xn
a
xxpxp
a
a
nn
⋅⋅=⋅=
=
−=ΨΨ=
∫
∫∫
+∞
∞−
πππ
π
∂
∂π
!!
!
Таким образом, в состоянии частицы с квантовым числом n
p
a
n
2
22
2
2
=
π
h
.
В том, что значение < p
2
> найдено правильно, можно убедиться и дру-
гим способом. Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) является
собственной функцией оператора
2
ˆ
p
. Подействовав на нее оператором квад-
рата импульса
() ()
x
a
n
a
xn
aa
n
a
xn
ax
xp
nn
Ψ==
−=Ψ
2
222
2
222
2
2
22
sin
2
sin
2
ˆ
!!
!
ππππ
∂
∂
,
мы получаем в результате такого действия ту же волнову ю функцию, умно-
женную на некоторое число
π
222
2
h
n
a
, которое является собственным значе-
нием оператора квадрата импульса.
так как частица движется вдоль оси x, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс
направлен то в одну, то в другую, противоположную сторону. Поэтому сред-
нее значение проекции импульса частицы на ось x оказывается равным нулю.
     в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса < p2 >. Посколь-
ку мы имеем дело с одномерным случаем, то из (2.3) следует, что
                                                               ∂2
                                                 pˆ = pˆ = − !
                                                  2       2
                                                          x
                                                               2

                                                               ∂x 2

     Очевидно, что хотя среднее значение проекции импульса < px > равно
нулю, среднее значение квадрата импульса < p2 > у движущейся частицы
должно быть отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата им-
пульса будет получено в серии измерений? Согласно (1.5)
                          +∞                                   a
                                                                nπ x ∂ 2  nπ x 
                        = ∫ Ψ (x ){pˆ Ψn (x )}d x = −
                                                      2! 2
                                                       a ∫0
                                                                                 d x =
                    2            *        2
                p                n                          sin           sin
                          −∞
                                                                 a ∂x 2       a 
                                     a
                  2 ! 2 n 2π 2     nπ x      2 ! 2 n 2π 2 a
              =        ⋅ 2 ∫ sin 2      dx =      ⋅ 2 ⋅ .
                   a     a 0        a         a     a     2

     Таким образом, в состоянии частицы с квантовым числом n

                                                      2    π 2 h2 2
                                                  p       = 2 n .
                                                            a
     В том, что значение < p2 > найдено правильно, можно убедиться и дру-
гим способом. Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) является
собственной функцией оператора p̂ 2 . Подействовав на нее оператором квад-
рата импульса
                                 ∂2       2    nπ x  π 2 ! 2 n 2    2     nπ x π 2 ! 2 n 2
          pˆ 2 Ψn (x ) = − ! 2                      
                                          a sin a  = a 2              sin     =            Ψn (x ) ,
                                 ∂x 2                               a      a      a2

мы получаем в результате такого действия ту же волновую функцию, умно-
                                               π 2 h2 n2
женную на некоторое число                                , которое является собственным значе-
                                                   a2
нием оператора квадрата импульса.

12

Страницы