Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.
Докажите, что оператор проекции импульса
x
p
ˆ
является ли-
нейным самосопряженным (эрмитовым) оператором.
Решение. Линейность оператора
xix
ip
x
∂
∂
∂
∂
!
!
≡−=
ˆ
очевидна, поскольку
дифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор
x
p
ˆ
является эрмитовым оператором, то есть для него выполняется условие
самосопряженности
() ()
∫∫
ΨΨ=ΨΨ
NN
R
x
R
x
VpVp d
ˆ
d
ˆ
*
122
*
1
.(3.1)
Здесь Ψ
1
и Ψ
2
- две произвольные функции, для которых выполнены все ус-
ловия, накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции
должны обращаться в нуль вместе с производными на границе рассматри-
ваемой области.
Для упрощения выкладок ограничиваемся рассмотрением одномерного
случая, когда функции Ψ
1
и Ψ
2
зависят только от одной пространственной
координаты x. Тогда имеем
()
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
Ψ
Ψ+ΨΨ=
Ψ
Ψ=ΨΨ=
x
x
i
i
x
xi
xpI
x
ddd
ˆ
*
1
22
*
1
2
*
12
*
1
∂
∂
∂
∂
!
!!
.
Поскольку по условию
() ()
ΨΨ
1 2
0
mm
∞= ∞= , то
()
∫∫
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
ΨΨ=
Ψ
−Ψ=
=
Ψ
Ψ=
Ψ
Ψ=
.d
ˆ
d
dd
*
12
*
1
2
*
1
2
*
1
2
xpx
x
i
x
x
ix
x
iI
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
!
!!
Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности
() ()
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
ΨΨ=ΨΨ
xpxp
xx
d
ˆ
.d
ˆ
*
122
*
1
для оператора проекции импульса.
                        III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
     Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса p̂ x является ли-
нейным самосопряженным (эрмитовым) оператором.
                                                                                       ∂ !∂
     Решение. Линейность оператора pˆ x = −i!                                            ≡     очевидна, поскольку
                                                                                       ∂x i ∂x
дифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор
p̂ x является эрмитовым оператором, то есть для него выполняется условие

самосопряженности

                              ∫ Ψ ( pˆ Ψ )dV = ∫ Ψ ( pˆ Ψ ) dV .
                                                                                       *
                                       *
                                       1        x    2                2        x   1                     (3.1)
                                  N                              N
                              R                              R


Здесь Ψ1 и Ψ2 - две произвольные функции, для которых выполнены все ус-
ловия, накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции
должны обращаться в нуль вместе с производными на границе рассматри-
ваемой области.
     Для упрощения выкладок ограничиваемся рассмотрением одномерного
случая, когда функции Ψ1 и Ψ2 зависят только от одной пространственной
координаты x. Тогда имеем
               +∞                                   +∞                                         +∞   +∞
                                   !     ∂Ψ      !               ∂Ψ *
           I = ∫ Ψ ( pˆ x Ψ2 )d x = ∫ Ψ1* 2 d x = Ψ1*Ψ2 + i! ∫ Ψ2 1 d x .
                    *
                    1
               −∞
                                   i −∞   ∂x     i     −∞   −∞
                                                                  ∂x

Поскольку по условию Ψ1 (m∞) = Ψ2 (m∞) = 0 , то
                                           +∞    +∞
                                      ∂Ψ1*              ∂Ψ1* 
                          I = i! ∫ Ψ2      d x = ∫ Ψ2  i!    d x =
                                −∞
                                       ∂x        −∞     ∂x 
                              +∞                         *                +∞
                                          ∂Ψ 
                              ∫−∞Ψ2  − i! ∂x1  d x = −∫∞Ψ2 ( pˆ x Ψ1 ) d x.
                                                                          *
                          =


Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности
                                      +∞                             +∞

                                      ∫ Ψ1 ( pˆ x Ψ2 )d x. =         ∫ Ψ ( pˆ Ψ ) d x
                                          *                                                *
                                                                           2       x   1
                                      −∞                             −∞


для оператора проекции импульса.


10

Страницы