Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 8 стр.

                                                 1 ∂  2 ∂
                                          ∆r =          r   
                                                 r 2 ∂r  ∂r 
и угловой части
                                     1 ∂           ∂      1 ∂2
                         ∆θ ,ϕ   =           sin θ    +             .
                                   sin θ ∂θ        ∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2

     В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сфериче-
ской системе координат преобразуется к виду
                                      Lˆ2 = − ! 2 ∆θ ,ϕ .                   (2.10)

     Спектр собственных значений оператора L̂2 является дискретным
                          L2 = ! 2l (l + 1) , l=0, 1, 2, ....                        (2.11)
причем каждому собственному значению с заданным значением l соответст-
вуют (2l + 1) собственных функций Ψlm=Ylm(Θ,ϕ), отличающихся значениями
целочисленного параметра m=0, ±1, ±2, ..., ±l. Каждому значению m соответ-
ствуют определенные значения проекции момента импульса Lz, которые оп-
ределяются формулой (2.7).
     Функции Ylm(Θ,ϕ) называются шаровыми или сферическими функция-
ми. Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферических
функций:
                      1             3                    3
           Y 0, 0 =      , Y1, 0 =    cos θ , Y1, ± 1 =    sin θ e ± iϕ .            (2.12)
                      4π           4π                   8π
Эти функции нормированы условием
                                 2π   π

                                 ∫ ∫ Y l,mY l,m sin θ d θ d ϕ = 1.
                                           *

                                 0    0

Операторы энергий.
     Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классической
формулой связи кинетической энергии частицы массы m0 и ее квадрата им-



8