Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
−−=−=
−−=−=
−−=−=
x
y
y
xipypxL
z
x
x
zipxpzL
y
z
z
yipzpyL
xyz
zxy
yzx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
!
!
!
ˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
. (2.5)
В сферической системе координат
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
ϕθ
∂θ
∂
ϕ
∂ϕ
∂
ϕθ
∂θ
∂
ϕ
!
!
!
iL
iL
iL
z
y
x
−=
−−=
+−=
ˆ
sinctgcos
ˆ
cosctgsin
ˆ
. (2.6)
Оператор
z
L
ˆ
имеет дискретный спектр собственных значений
Lm
z
=
h
, где m=0, ±1, ±2, ... (2.7)
каждому из которых соответствует собственная функция
()
Ψ
m
im
ϕ
π
ϕ
=
1
2
e (2.8)
Эти собственные функции ортонормированы, так что
() ()
ΨΨ
mn
ecли nm
ecли nm
*
d
,
,
ϕϕϕ
π
0
2
1
0
∫
=
=
≠
.
Для оператора квадрата момента импульса
.
ˆˆˆˆ
2
2
2
22222
−+
−+
+
−−=++=
y
x
x
y
x
z
z
x
z
y
y
zLLLL
zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
!
(2.9)
В сферической системе координат оператор Лапласа
∆∆ ∆
Θ
=+
r
r
1
2
,
ϕ
может быть записан с выделением его радиальной части
                                                ∂    ∂ 
                 Lˆ x = yˆ pˆ z − zˆpˆ y = −i! y − z 
                                                ∂z   ∂y 
                                                ∂    ∂ 
                 Lˆ y = zˆpˆ x − xˆpˆ z = −i! z − x  .        (2.5)
                                                ∂x   ∂z 
                                               ∂      ∂ 
                Lˆ z = xˆpˆ y − yˆ pˆ x = −i! x − y 
                                               ∂y    ∂x 

В сферической системе координат
                                  ∂                 ∂ 
                Lˆ x = −i! sin ϕ    + ctg θ cos ϕ     
                                  ∂θ               ∂ϕ 
                                  ∂                 ∂ 
                Lˆ y = −i! cos ϕ    − ctg θ sin ϕ     .              (2.6)
                                  ∂θ               ∂ϕ 
                            ∂
                Lˆ z = −i!
                           ∂ϕ

Оператор L̂z имеет дискретный спектр собственных значений
                L z = m h, где m=0, ±1, ±2, ...                         (2.7)
каждому из которых соответствует собственная функция
                                        1 imϕ
                           Ψm (ϕ) =        e                            (2.8)
                                        2π
Эти собственные функции ортонормированы, так что
                     2π                 1, ecли n = m
                     ∫ m (ϕ) n (ϕ) d ϕ 
                         *
                       Ψ    Ψ         =                 .
                     0                   0, ecли n ≠ m
     Для оператора квадрата момента импульса
                                         ∂    ∂  
                                                      2

                Lˆ = Lˆ + Lˆ + Lˆ = − !  z − y  +
                 2     2
                       x
                             2
                             y
                                  2
                                  z
                                          2

                                          ∂y  ∂z 
                                                                (2.9)
                   ∂    ∂   ∂
                                 2
                                      ∂ 
                                                      2
                                                          
                +  x − z  +  y − x                   .
                   ∂z   ∂x   ∂x    ∂y                  

В сферической системе координат оператор Лапласа
                                                1
                                     ∆ = ∆r +      ∆ Θ,ϕ
                                                r2
может быть записан с выделением его радиальной части

                                                                                7

Страницы